Задача №13819

Список заданий викторины состоял из 40 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал участник, набравший 171 очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — количество правильных ответов, $y$ — количество неправильных ответов, $z$ — количество вопросов без ответа. Всего вопросов 40, поэтому:

За правильный ответ начисляют 9 очков, за неправильный списывают 11 очков, за отсутствие ответа — 0 очков. Участник набрал 171 очко, следовательно:

Также по условию $y⩾1$ (по крайней мере один раз он ошибся).

Выразим $x$ из второго уравнения:

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $171+11y$ должно делиться на 9. Число 171 делится на 9 ($171=9\cdot 19$), поэтому $11y$ также должно делиться на 9. Числа 11 и 9 взаимно просты, значит, $y$ кратно 9.

Пусть $y=9k\text{,}$ где $k$ — целое неотрицательное число. Тогда:

Подставим в первое уравнение:

Так как $z⩾0\text{,}$ получаем неравенство:

Поскольку $k$ целое, возможны $k=0$ или $k=1\text{.}$

Если $k=0\text{,}$ то $y=0\text{,}$ что противоречит условию $y⩾1\text{.}$ Следовательно, $k=1\text{.}$

Тогда:

Проверка: $9\cdot 30-11\cdot 9=270-99=171\text{,}$ и $30+9+1=40\text{.}$ Условие выполнено.

Ответ: 30