Список заданий викторины состоял из 40 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал участник, набравший 171 очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — количество правильных ответов, y — количество неправильных ответов, z — количество вопросов без ответа. Всего вопросов 40, поэтому: x + y + z = 40 За правильный ответ начисляют 9 очков, за неправильный списывают 11 очков, за отсутствие ответа — 0 очков. Участник набрал 171 очко, следовательно: 9x - 11y = 171 Также по условию y 1 (по крайней мере один раз он ошибся). Выразим x из второго уравнения: 9x = 171 + 11y => x = (171 + 11y)/(9) Поскольку x должно быть целым числом, выражение 171 + 11y должно делиться на 9. Число 171 делится на 9 ( 171 = 9 * 19 ), поэтому 11y также должно делиться на 9. Числа 11 и 9 взаимно просты, значит, y кратно 9. Пусть y = 9k , где k — целое неотрицательное число. Тогда: x = (171 + 11 * 9k)/(9) = (171 + 99k)/(9) = 19 + 11k Подставим в первое уравнение: (19 + 11k) + 9k + z = 40 => 19 + 20k + z = 40 => z = 21 - 20k Так как z 0 , получаем неравенство: 21 - 20k 0 => k 1 Поскольку k целое, возможны k = 0 или k = 1 . Если k = 0 , то y = 0 , что противоречит условию y 1 . Следовательно, k = 1 . Тогда: x = 19 + 11 * 1 = 30, y = 9, z = 21 - 20 = 1 Проверка: 9 * 30 - 11 * 9 = 270 - 99 = 171 , и 30 + 9 + 1 = 40 . Условие выполнено. Ответ: 30

30