Задача №13765

Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 21. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Так как число четырёхзначное и находится в диапазоне от 1500 до 2000, его первая цифра — 1. Обозначим число как $\overline{1abc}\text{.}$

2. Сумма цифр числа равна 21. Таким образом:

3. По условию число делится на 24. Это означает, что оно должно одновременно делиться на 3 и на 8:

• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Поскольку сумма цифр равна 21, а $21:3=7\text{,}$ это условие выполняется для всех чисел с такой суммой цифр.
• Число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами ($\overline{abc}$), делится на 8.

4. Проверим возможные варианты, перебирая цифру сотен $a\text{.}$ Так как число больше 1500, то $a⩾5\text{.}$ Рассмотрим случай $a=7\text{:}$

Переберём пары цифр $(b;c)\text{,}$ дающие в сумме 13: $(4;9);(5;8);(6;7);(7;6);(8;5);(9;4)\text{.}$ Среди них выберем те, где число $\overline{7bc}$ делится на 8. Проверим варианты с чётным $c\text{:}$

• Если $c=6\text{,}$ то $b=7\text{.}$ Число 776: $776:8=97$ — делится на 8.

5. Проверим число 1776:

• Оно больше 1500 и меньше 2000.
• Сумма цифр: $1+7+7+6=21\text{.}$
• Делимость на 24: $1776:24=74\text{.}$

Все условия выполнены. Другими подходящими числами являются 1848 и 1992.

Ответ: 1776