Задача №13727

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-3)(x-4)<0$
2. $\frac{x-3}{x-4}>0$
3. $(x-3{)}^2(x-4)<0$
4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-3}>0$

Решения:
A) $(-\infty ;3)\cup (4;+\infty )$
B) $(3;4)\cup (4;+\infty )$
C) $(3;4)$
D) $(-\infty ;3)\cup (3;4)$

Решим каждое неравенство методом интервалов.

1. Неравенство $(x-3)(x-4)<0\text{.}$
Корни: $x=3$ и $x=4\text{.}$ Парабола $y=(x-3)(x-4)$ направлена ветвями вверх, поэтому отрицательные значения выражение принимает между корнями.
Решение: $x\in (3;4)\text{.}$

2. Неравенство $\frac{x-3}{x-4}>0\text{.}$
Нули числителя: $x=3\text{,}$ нули знаменателя: $x=4\text{.}$ Рассмотрим знаки выражения на интервалах:

• При $x<3$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0-4}=\frac{-3}{-4}>0\text{.}$
• При $3<x<4$ (например, $x=3,5$): $\frac{3,5-3}{3,5-4}=\frac{0,5}{-0,5}<0\text{.}$
• При $x>4$ (например, $x=5$): $\frac{5-3}{5-4}=\frac{2}{1}>0\text{.}$
  Так как неравенство строгое, точки $x=3$ и $x=4$ не включаются.
  Решение: $x\in (-\infty ;3)\cup (4;+\infty )\text{.}$

3. Неравенство $(x-3{)}^2(x-4)<0\text{.}$
Выражение $(x-3{)}^2⩾0$ для всех $x\text{,}$ причём равно нулю только при $x=3\text{.}$ Для строгого неравенства необходимо, чтобы $(x-3{)}^2>0\text{,}$ что выполняется при $x\ne 3\text{.}$ При этом условии знак выражения определяется множителем $x-4\text{.}$ Выражение отрицательно при $x-4<0\text{,}$ то есть $x<4\text{.}$ Исключая $x=3\text{,}$ получаем итоговый интервал.
Решение: $x\in (-\infty ;3)\cup (3;4)\text{.}$

4. Неравенство $\frac{(x-4{)}^2}{x-3}>0\text{.}$
Выражение $(x-4{)}^2⩾0$ для всех $x\text{,}$ равно нулю при $x=4\text{.}$ Знаменатель $x-3\ne 0\text{.}$ При $x\ne 4$ числитель всегда положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Условие $x-3>0$ даёт $x>3\text{.}$ Исключая точку $x=4\text{,}$ где выражение обращается в нуль, получаем итоговый интервал.
Решение: $x\in (3;4)\cup (4;+\infty )\text{.}$

Сопоставим с вариантами:

• Неравенство 1: решение $(3;4)$ соответствует C.
• Неравенство 2: решение $(-\infty ;3)\cup (4;+\infty )$ соответствует A.
• Неравенство 3: решение $(-\infty ;3)\cup (3;4)$ соответствует D.
• Неравенство 4: решение $(3;4)\cup (4;+\infty )$ соответствует B.

Ответ: 1—C, 2—A, 3—D, 4—B.