Задача №13686

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

Неравенства:
1) $x^2-13x+36⩾0$
2) $x^2+13x+36⩾0$
3) $x^2-9x-36⩽0$
4) $x^2+9x-36⩽0$

Множества решений:
А) $[-3;12]$
Б) $(-\infty ;4]\cup [9;+\infty )$
В) $(-\infty ;-9]\cup [-4;+\infty )$
Г) $[-12;3]$

Для решения квадратных неравенств найдём корни соответствующих квадратных уравнений и воспользуемся методом интервалов.

1) $x^2-13x+36⩾0$
Найдём корни уравнения $x^2-13x+36=0\text{.}$ По теореме Виета:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=13\\ x_1\cdot x_2=36\end{array}\Rightarrow x_1=4,x_2=9$$

Ветви параболы $y=x^2-13x+36$ направлены вверх. Решением неравенства $y⩾0$ является объединение лучей: $(-\infty ;4]\cup [9;+\infty )\text{.}$
Это соответствует множеству Б.

2) $x^2+13x+36⩾0$
Найдём корни уравнения $x^2+13x+36=0\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-13\\ x_1\cdot x_2=36\end{array}\Rightarrow x_1=-9,x_2=-4$$

Ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства $y⩾0$ является объединение лучей: $(-\infty ;-9]\cup [-4;+\infty )\text{.}$
Это соответствует множеству В.

3) $x^2-9x-36⩽0$
Найдём корни уравнения $x^2-9x-36=0\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=9\\ x_1\cdot x_2=-36\end{array}\Rightarrow x_1=-3,x_2=12$$

Ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства $y⩽0$ является отрезок между корнями: $[-3;12]\text{.}$
Это соответствует множеству А.

4) $x^2+9x-36⩽0$
Найдём корни уравнения $x^2+9x-36=0\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-9\\ x_1\cdot x_2=-36\end{array}\Rightarrow x_1=-12,x_2=3$$

Ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства $y⩽0$ является отрезок между корнями: $[-12;3]\text{.}$
Это соответствует множеству Г.

Сопоставим неравенства и ответы:
1 — Б
2 — В
3 — А
4 — Г

Ответ:
1 — Б
2 — В
3 — А
4 — Г