Задача №13596

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{(x-3{)}^2}{x-2}>0$
2. $(x-2)(x-3)<0$
3. $\frac{x-2}{x-3}>0$
4. $(x-2{)}^2(x-3)<0$

Решения:
A. $x<2$ или $x>3$
B. $2<x<3$ или $x>3$
C. $2<x<3$
D. $x<2$ или $2<x<3$

Решим каждое неравенство методом интервалов и сопоставим результаты с предложенными решениями.

1. $\frac{(x-3{)}^2}{x-2}>0$

Числитель $(x-3{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=3\text{.}$ Для того чтобы дробь была строго больше нуля, необходимо, чтобы знаменатель был положителен, а числитель не был равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-2>0\\ x-3\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>2\\ x\ne 3\end{array}$$

Решение: $2<x<3$ или $x>3\text{.}$ Это соответствует варианту B.

2. $(x-2)(x-3)<0$

Рассмотрим функцию $f(x)=(x-2)(x-3)\text{.}$ Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения с осью $Ox$ — $2$ и $3\text{.}$ Функция принимает отрицательные значения между корнями.

Решение: $2<x<3\text{.}$ Это соответствует варианту C.

3. $\frac{x-2}{x-3}>0$

Знаки выражения $\frac{x-2}{x-3}$ совпадают со знаками произведения $(x-2)(x-3)$ при условии, что $x\ne 3\text{.}$ Выражение положительно на промежутках до меньшего корня и после большего.

Решение: $x<2$ или $x>3\text{.}$ Это соответствует варианту A.

4. $(x-2{)}^2(x-3)<0$

Множитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=2\text{.}$ Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы второй множитель был отрицателен, а первый не был равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-3<0\\ x-2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<3\\ x\ne 2\end{array}$$

Решение: $x<2$ или $2<x<3\text{.}$ Это соответствует варианту D.

Запишем соответствие в таблицу:

• Неравенство 1 — B
• Неравенство 2 — C
• Неравенство 3 — A
• Неравенство 4 — D

Таким образом, буквам A, B, C, D соответствуют цифры 3, 1, 2, 4.

Ответ: 3124