Задача №13694

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{x-2}{x-6}>0$
2. $(x-2{)}^2(x-6)<0$
3. $(x-2)(x-6)<0$
4. $\frac{(x-6{)}^2}{x-2}>0$

Решения:
1) $2<x<6$ или $x>6$
2) $x<2$ или $2<x<6$
3) $2<x<6$
4) $x<2$ или $x>6$

Решим каждое неравенство по отдельности и сопоставим результаты с предложенными вариантами.

1. $\frac{x-2}{x-6}>0$

Найдём критические точки, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=2$ и $x=6\text{.}$ Отметим их на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала:

• при $x<2\text{:}$ $\frac{-}{-}>0$ (верно);
• при $2<x<6\text{:}$ $\frac{+}{-}<0$ (неверно);
• при $x>6\text{:}$ $\frac{+}{+}>0$ (верно).

Решение: $x<2$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует 4-му варианту ответа.

2. $(x-2{)}^2(x-6)<0$

Множитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое ($<0$), произведение может быть отрицательным только если $(x-2{)}^2>0$ (то есть $x\ne 2$) и второй множитель отрицателен:

$$x-6<0\Rightarrow x<6.$$

При $x<6$ и $x\ne 2$ получаем интервалы: $x<2$ или $2<x<6\text{.}$ Это соответствует 2-му варианту ответа.

3. $(x-2)(x-6)<0$

Это квадратичное неравенство. Корни уравнения $(x-2)(x-6)=0$ равны $2$ и $6\text{.}$ Графиком функции $y=(x-2)(x-6)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения она принимает на интервале между корнями.

Решение: $2<x<6\text{.}$ Это соответствует 3-му варианту ответа.

4. $\frac{(x-6{)}^2}{x-2}>0$

Числитель $(x-6{)}^2$ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была строго больше нуля, числитель не должен равняться нулю ($x\ne 6$), а знаменатель должен быть положителен:

$$x-2>0\Rightarrow x>2.$$

При $x>2$ и $x\ne 6$ получаем интервалы: $2<x<6$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует 1-му варианту ответа.

Запишем полученные соответствия (неравенство — номер ответа):
1 — 4
2 — 2
3 — 3
4 — 1

Ответ: 4231