Задача №13710

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным $1590\text{.}$ Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки $2\text{,}$ $3\text{,}$ $4$ или $5$ и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, $3,2$ округляется до $3\text{;}$ $4,5$ — до $5\text{;}$ $2,8$ — до $3\text{.}$)

1. Разложим $1590$ на простые множители:

2. Отметки — только цифры $2\text{,}$ $3\text{,}$ $4\text{,}$ $5\text{.}$ Число $53$ простое и больше $5\text{,}$ поэтому оно должно быть получено как двузначное число, составленное из цифр $5$ и $3\text{,}$ идущих подряд.

3. Таким образом, в последовательности из пяти отметок где-то есть подряд цифры $5$ и $3\text{,}$ образующие число $53\text{.}$ Оставшиеся три цифры должны давать произведение:

4. Рассмотрим оставшиеся три цифры. Если каждая цифра — отдельное число, то их произведение равно $30\text{.}$ Единственный набор цифр из $\{2;3;4;5\}\text{,}$ произведение которых равно $30\text{,}$ — это $2\text{,}$ $3\text{,}$ $5\text{.}$ Проверка других способов группировки (объединение в многозначные числа) не даёт произведения $30$ с цифрами $2\text{,}$ $3\text{,}$ $4\text{,}$ $5\text{.}$

5. Следовательно, оставшиеся три цифры — это $2\text{,}$ $3$ и $5\text{,}$ каждая из которых является отдельным числом в произведении. Значит, вся последовательность отметок содержит: две цифры $5\text{,}$ две цифры $3$ и одну цифру $2\text{,}$ причём одна пара цифр $5$ и $3$ идёт подряд.

6. Независимо от порядка, отметки: $2\text{,}$ $3\text{,}$ $3\text{,}$ $5\text{,}$ $5\text{.}$ Найдём среднее арифметическое:

7. Округлим по правилам округления: поскольку дробная часть $0,6⩾0,5\text{,}$ округляем до $4\text{.}$

Ответ: 4