Задача №14489

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно $11$ прыжков?

Пусть кузнечик сделал $k$ прыжков вправо и $m$ прыжков влево. По условию задачи общее количество прыжков равно $11\text{,}$ то есть:

$k+m=11$

Конечная координата кузнечика $x$ на прямой будет определяться разностью количества прыжков вправо и влево:

$x=k-m$

Выразим $m$ из первого уравнения: $m=11-k$ и подставим во второе:

$x=k-(11-k)=2k-11$

Количество прыжков вправо $k$ может принимать любое целое значение от $0$ до $11$ включительно. Каждому значению $k$ соответствует ровно одна конечная точка на прямой.

Выпишем возможные значения $x\text{:}$

1. Если $k=0\text{,}$ то $x=-11\text{.}$
2. Если $k=1\text{,}$ то $x=-9\text{.}$
3. Если $k=2\text{,}$ то $x=-7\text{.}$
...
4. Если $k=11\text{,}$ то $x=11\text{.}$

Заметим, что координата всегда будет нечётным числом в диапазоне от $-11$ до $11\text{.}$ Общее количество таких точек равно количеству возможных значений $k\text{:}$

$11-0+1=12$

Ответ: 12.