Задача №13709

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $4446\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число равно $N\text{.}$ По условию оно кратно $5\text{,}$ поэтому последняя цифра может быть $0$ или $5\text{.}$ Если последняя цифра $0\text{,}$ то при записи цифр в обратном порядке получится число, начинающееся с $0\text{,}$ которое не будет четырёхзначным. Значит, последняя цифра исходного числа равна $5\text{.}$

Представим $N$ в виде:
$N=1000a+100b+10c+5\text{,}$
где $a,b,c$ — цифры, причём $a\in \{1;2;\dots ;9\}\text{,}$ $b,c\in \{0;1;\dots ;9\}\text{.}$

Число, полученное записью цифр в обратном порядке:
$M=5000+100c+10b+a\text{.}$

По условию $N-M=4446\text{.}$ Подставим выражения:

Упростим уравнение:

Разделим обе части на $9\text{:}$

Чтобы уравнение имело решение в цифрах, значение $10(b-c)=1049-111a$ должно быть кратно $10\text{.}$ Это означает, что число $111a$ должно оканчиваться на ту же цифру, что и $1049\text{,}$ то есть на $9\text{.}$ Это возможно только при $a=9\text{.}$

Переберём возможные варианты:

1. При $a=9\text{:}$ $111\cdot 9=999\text{,}$ тогда $1049-999=50\text{.}$ Следовательно, $10(b-c)=50\text{,}$ откуда $b-c=5\text{.}$
2. Для других значений $a\in \{1;2;\dots ;8\}$ разность $1049-111a$ не будет кратна $10\text{.}$

Таким образом, $a=9$ и $b-c=5\text{.}$ Подберём подходящие цифры $b$ и $c\text{.}$ Например, при $b=5$ и $c=0$ исходное число будет:

Проверим: обратное число $M=5059\text{,}$ разность $9505-5059=4446\text{.}$ Условие выполняется.

Другие возможные варианты для $b$ и $c$ (где $b-c=5$): $b=6,c=1$ (число $9615$), $b=7,c=2$ (число $9725$) и т. д.

Ответ: 9505