Задача №13702

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Пусть $k$ — число квартир на одном этаже в одном подъезде. Так как дом семиэтажный, в одном подъезде $7k$ квартир. Квартиры нумеруются с 1. В первом подъезде квартиры с 1 по $7k\text{,}$ во втором — с $7k+1$ по $14k$ и так далее.

Саша живёт в 7-м подъезде, квартира № 462. Значит, квартиры в 7-м подъезде начинаются с номера $6\cdot 7k+1=42k+1$ и заканчиваются номером $49k\text{.}$

Таким образом, должно выполняться условие:

Решим полученные неравенства:

1. $42k+1⩽462\Rightarrow 42k⩽461\Rightarrow k⩽\frac{461}{42}\approx 10,976\text{.}$ Так как $k$ - целое число, то $k⩽10\text{.}$

2. $462⩽49k\Rightarrow k⩾\frac{462}{49}\approx 9,428\text{.}$ Следовательно, $k⩾10\text{.}$

Из этих условий получаем, что на каждом этаже в подъезде по $k=10$ квартир.

Теперь найдём порядковый номер квартиры № 462 внутри 7-го подъезда. В первых шести подъездах всего $6\cdot 7\cdot 10=420$ квартир. Значит, в 7-м подъезде квартира № 462 имеет номер:
$462-420=42\text{.}$

В подъезде 7 этажей, на каждом этаже по 10 квартир. Чтобы найти этаж, на котором находится 42-я квартира, вычислим:
$\lceil \frac{42}{10}\rceil =5\text{.}$

Поскольку на каждом этаже по 10 квартир (на первом — с 1-й по 10-ю, на втором — с 11-й по 20-ю и т. д.), 42-я квартира попадает на 5-й этаж.

Ответ: 5