Задача №13674

На координатной прямой отмечены точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$

Число $m$ равно ${\log }_{5}4\text{.}$

Установите соответствие между указанными точками и числами в правом столбце, которые им соответствуют.

А) $A$

Б) $B$

В) $C$

Г) $D$

1) $4-m$

2) $-\frac{2}{m}$

3) $\sqrt{m+1}$

4) $m^2$

В ответе запишите цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: АБВГ.

Оценим значение числа $m={\log }_{5}4\text{.}$

Так как $1<4<5\text{,}$ имеем:

$${\log }_{5}1<{\log }_{5}4<{\log }_{5}5\Rightarrow 0<m<1.$$

Для более точной оценки заметим, что $m={\log }_{5}4\approx 0,86\text{.}$

Оценим каждое из предложенных чисел:

1) $4-m$

Так как $0<m<1\text{,}$ получаем:

$$3<4-m<4$$

На координатной прямой в интервале $(3;4)$ находится только точка $D\text{.}$ Следовательно, точке $D$ соответствует число 1.

2) $-\frac{2}{m}$

Так как $0,5<m<1\text{,}$ то:

$$1<\frac{1}{m}<2\Rightarrow 2<\frac{2}{m}<4\Rightarrow -4<-\frac{2}{m}<-2$$

В интервале $(-4;-2)$ находится только точка $A\text{.}$ Следовательно, точке $A$ соответствует число 2.

3) $\sqrt{m+1}$

Так как $0<m<1\text{,}$ то:

$$1<m+1<2\Rightarrow 1<\sqrt{m+1}<\sqrt{2}\approx 1,41$$

В интервале $(1;2)$ находится только точка $C\text{.}$ Следовательно, точке $C$ соответствует число 3.

4) $m^2$

Так как $0<m<1\text{,}$ то:

$$0<m^2<m<1$$

В интервале $(0;1)$ находится только точка $B\text{.}$ Следовательно, точке $B$ соответствует число 4.

Запишем полученное соответствие:

В ответе записываем последовательность цифр, соответствующих точкам $A,B,C,D\text{.}$