Задача №13788

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-3)(x-4)<0$
2. $\frac{x-3}{x-4}>0$
3. $(x-3{)}^2(x-4)<0$
4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-3}>0$

Решения:
1) $x<3$ или $x>4$
2) $3<x<4$ или $x>4$
3) $3<x<4$
4) $x<3$ или $3<x<4$

Решим каждое неравенство методом интервалов и сопоставим результаты с предложенными ответами.

1. $(x-3)(x-4)<0$

Корнями уравнения $(x-3)(x-4)=0$ являются числа 3 и 4. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Проверим знаки на каждом из них:

• при $x<3\text{:}$ $(-)\cdot (-)=(+)$
• при $3<x<4\text{:}$ $(+)\cdot (-)=(-)$
• при $x>4\text{:}$ $(+)\cdot (+)=(+)$

Нам подходит интервал, где выражение отрицательно: $3<x<4\text{.}$ Это соответствует решению №3.

2. $\frac{x-3}{x-4}>0$

Нуль числителя — 3, нуль знаменателя — 4. Проверим знаки выражения:

• при $x<3\text{:}$ $\frac{-}{-}=(+)$
• при $3<x<4\text{:}$ $\frac{+}{-}=(-)$
• при $x>4\text{:}$ $\frac{+}{+}=(+)$

Нам подходят интервалы, где выражение положительно: $x<3$ или $x>4\text{.}$ Это соответствует решению №1.

3. $(x-3{)}^2(x-4)<0$

Заметим, что квадрат любого выражения всегда неотрицателен: $(x-3{)}^2⩾0\text{.}$ Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-4<0\\ (x-3{)}^2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<4\\ x\ne 3\end{array}$$

Следовательно, решением является объединение интервалов $x<3$ или $3<x<4\text{.}$ Это соответствует решению №4.

4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-3}>0$

Аналогично, выражение в числителе $(x-4{)}^2⩾0\text{.}$ Для того чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель был положителен, а числитель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-3>0\\ (x-4{)}^2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>3\\ x\ne 4\end{array}$$

Следовательно, решением является объединение интервалов $3<x<4$ или $x>4\text{.}$ Это соответствует решению №2.

Запишем итоговое соответствие:

• 1 $\to$ 3
• 2 $\to$ 1
• 3 $\to$ 4
• 4 $\to$ 2

Ответ: 3142