Задача №13591

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
А) $\frac{x-5}{(x-3{)}^2}<0$
Б) $5^{-x+1}<\frac{1}{25}$
В) $(x-3)(x-5)>0$
Г) ${\log }_2(x-3)<1$

Решения:
1) $x<3\text{ или }x>5$
2) $x>3$
3) $3<x<5$
4) $x<3\text{ или }3<x<5$

Решим каждое неравенство по отдельности:

А) $\frac{x-5}{(x-3{)}^2}<0\text{.}$

Знаменатель $(x-3{)}^2$ положителен для всех допустимых значений переменной ($x\ne 3$). Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть меньше нуля:

$$x-5<0\Rightarrow x<5$$

С учётом условия $x\ne 3\text{,}$ решением является объединение интервалов: $x<3\text{ или }3<x<5\text{.}$

Это соответствует решению под номером 4.

Б) $5^{-x+1}<\frac{1}{25}\text{.}$

Приведём обе части к одному основанию:

$$5^{-x+1}<5^{-2}$$

Так как основание степени $5>1\text{,}$ то при переходе к показателям знак неравенства не меняется:

$$-x+1<-2\Rightarrow -x<-3\Rightarrow x>3$$

Это соответствует решению под номером 2.

В) $(x-3)(x-5)>0\text{.}$

Это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения: $x=3$ и $x=5\text{.}$ Произведение положительно вне промежутка между корнями (ветви параболы направлены вверх):

$$x<3\text{ или }x>5$$

Это соответствует решению под номером 1.

Г) ${\log }_2(x-3)<1\text{.}$

Найдём область определения логарифма: $x-3>0\Rightarrow x>3\text{.}$

Решим неравенство:

$${\log }_2(x-3)<{\log }_{2}2$$

Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ получаем:

$$x-3<2\Rightarrow x<5$$

С учётом области определения ($x>3$) получаем итоговый интервал: $3<x<5\text{.}$

Это соответствует решению под номером 3.

Запишем соответствие полученных ответов: 4213.

Ответ: 4213