Задача №13774

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений:

1. $(x-1{)}^2(x-6)<0$
2. $\frac{x-1}{x-6}>0$
3. $(x-1)(x-6)<0$
4. $\frac{(x-6{)}^2}{x-1}>0$

Варианты ответов:
А) $1<x<6$
Б) $x<1$ или $x>6$
В) $x<1$ или $1<x<6$
Г) $1<x<6$ или $x>6$

Решим каждое неравенство методом интервалов:

1. $(x-1{)}^2(x-6)<0$
Квадрат числа всегда неотрицателен: $(x-1{)}^2⩾0\text{.}$ Неравенство строгое, значит, $(x-1{)}^2\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 1\text{.}$ Тогда для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$$x-6<0\Rightarrow x<6$$

Учитывая, что $x\ne 1\text{,}$ получаем решение: $x<1$ или $1<x<6\text{.}$ Это соответствует варианту В.

2. $\frac{x-1}{x-6}>0$
Найдём нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=6\text{.}$ Отметим их на числовой прямой и определим знаки дроби на интервалах:

• при $x>6\text{:}$ $\frac{+}{+}>0\text{;}$
• при $1<x<6\text{:}$ $\frac{+}{-}<0\text{;}$
• при $x<1\text{:}$ $\frac{-}{-}>0\text{.}$
  Решение: $x<1$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует варианту Б.

3. $(x-1)(x-6)<0$
Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y=(x-1)(x-6)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а нули функции — точки $1$ и $6\text{.}$ Выражение принимает отрицательные значения между корнями.
Решение: $1<x<6\text{.}$ Это соответствует варианту А.

4. $\frac{(x-6{)}^2}{x-1}>0$
Числитель $(x-6{)}^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, числитель не должен быть равен нулю: $(x-6{)}^2\ne 0\Rightarrow x\ne 6\text{.}$ Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть положительным:

$$x-1>0\Rightarrow x>1$$

Учитывая, что $x\ne 6\text{,}$ получаем решение: $1<x<6$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует варианту Г.

Запишем полученное соответствие:
А — 3
Б — 2
В — 1
Г — 4

Ответ: 3214