Задача №13586

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^x⩾0,5$
2. $0,5^x⩾0,5$
3. $0,5^x⩽0,5$
4. $2^x⩽0,5$

Решения:
A. $x⩽-1$
B. $x⩽1$
C. $x⩾1$
D. $x⩾-1$

Решим каждое из предложенных показательных неравенств:

1. $2^x⩾0,5\text{.}$ Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

$$2^x⩾2^{-1}$$

Так как основание $2>1\text{,}$ функция $f(t)=2^t$ возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$$x⩾-1$$

Этому решению соответствует вариант D.

2. $0,5^x⩾0,5\text{.}$ Представим правую часть как $0,5^1\text{:}$

$$0,5^x⩾0,5^1$$

Так как основание $0<0,5<1\text{,}$ функция $f(t)=0,5^t$ убывает, и знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$$x⩽1$$

Этому решению соответствует вариант B.

3. $0,5^x⩽0,5\text{.}$ Представим правую часть как $0,5^1\text{:}$

$$0,5^x⩽0,5^1$$

Так как основание $0<0,5<1\text{,}$ функция $f(t)=0,5^t$ убывает, и знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$$x⩾1$$

Этому решению соответствует вариант C.

4. $2^x⩽0,5\text{.}$ Представим правую часть как $2^{-1}\text{:}$

$$2^x⩽2^{-1}$$

Так как основание $2>1\text{,}$ знак неравенства для показателей сохраняется:

$$x⩽-1$$

Этому решению соответствует вариант A.

Сопоставив полученные результаты, получаем последовательность: 1 — D, 2 — B, 3 — C, 4 — A.

Ответ: 1 — D, 2 — B, 3 — C, 4 — A.