Задача №13687

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) ${\log }_{2}x>0$
2) $2^{-x}>2$
3) $\frac{x}{x-1}<0$
4) $\frac{1}{x(x-1)}>0$

Решения:
А) $(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$
Б) $(1;+\infty )$
В) $(-\infty ;-1)$
Г) $(0;1)$

Решим каждое неравенство и найдём соответствующий ему промежуток:

1. ${\log }_{2}x>0\text{.}$
С учётом области определения $x>0$ и того, что основание логарифма $2>1\text{,}$ функция является возрастающей. Перепишем неравенство в виде ${\log }_{2}x>{\log }_{2}1\text{,}$ откуда $x>1\text{.}$
Решение: $(1;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту Б.

2. $2^{-x}>2\text{.}$
Представим неравенство как $2^{-x}>2^1\text{.}$ Так как основание $2>1\text{,}$ то $-x>1\text{.}$ Умножая на $-1\text{,}$ получаем $x<-1\text{.}$
Решение: $(-\infty ;-1)\text{.}$ Это соответствует варианту В.

3. $\frac{x}{x-1}<0\text{.}$
Воспользуемся методом интервалов. Точки $0$ и $1$ разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знаки выражения:

• при $x\in (-\infty ;0)$ выражение положительно;
• при $x\in (0;1)$ выражение отрицательно;
• при $x\in (1;+\infty )$ выражение положительно.
  Следовательно, решение: $(0;1)\text{.}$ Это соответствует варианту Г.

4. $\frac{1}{x(x-1)}>0\text{.}$
Поскольку числитель дроби положителен, вся дробь будет больше нуля, если знаменатель положителен: $x(x-1)>0\text{.}$ Методом интервалов находим, что произведение положительно при $x<0$ или $x>1\text{.}$
Решение: $(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту А.

Установим соответствие между буквами и номерами неравенств:
А — 4
Б — 1
В — 2
Г — 3

Ответ: 4123