Задача №13571

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1)(x-2)<0$
2. $\frac{x-1}{x-2}>0$
3. $(x-1{)}^2(x-2)<0$
4. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}>0$

Решения:
A. $(1;2)$
B. $(1;2)\cup (2;+\infty )$
C. $(-\infty ;1)\cup (1;2)$
D. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$

Решим каждое неравенство методом интервалов.

1. $(x-1)(x-2)<0$
Корнями уравнения $(x-1)(x-2)=0$ являются числа 1 и 2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Проверим знаки выражения на каждом интервале:

• при $x>2\text{:}$ $(x-1)(x-2)>0\text{;}$
• при $1<x<2\text{:}$ $(x-1)(x-2)<0\text{;}$
• при $x<1\text{:}$ $(x-1)(x-2)>0\text{.}$

Решением неравенства является интервал $(1;2)\text{,}$ что соответствует варианту A.

2. $\frac{x-1}{x-2}>0$
Выражение имеет те же критические точки: 1 и 2 (причём 2 исключается, так как это корень знаменателя). Знаки на интервалах совпадают со знаками произведения из предыдущего пункта:

• при $x>2\text{:}$ выражение положительно;
• при $1<x<2\text{:}$ выражение отрицательно;
• при $x<1\text{:}$ выражение положительно.

Решением является объединение интервалов $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту D.

3. $(x-1{)}^2(x-2)<0$
Квадрат числа $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен. Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-2<0,\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<2,\\ x\ne 1.\end{array}$$

Получаем интервалы $(-\infty ;1)\cup (1;2)\text{,}$ что соответствует варианту C.

4. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}>0$
Квадрат $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен. Для того чтобы дробь была строго больше нуля, необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-1>0,\\ x-2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1,\\ x\ne 2.\end{array}$$

Получаем интервалы $(1;2)\cup (2;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту B.

Сопоставим результаты:
1 — A
2 — D
3 — C
4 — B

Ответ: 1432.