Задача №13787

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^{-x+1}<\frac{1}{2}$
2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}<0$
3. ${\log }_{4}x>1$
4. $(x-4)(x-2)<0$

Решения:
A. $x>4$
B. $x>2$
C. $2<x<4$
D. $x<2$

Решим каждое неравенство последовательно:

1. $2^{-x+1}<\frac{1}{2}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{2}=2^{-1}\text{.}$

Неравенство примет вид: $2^{-x+1}<2^{-1}\text{.}$

Так как основание степени $2>1\text{,}$ переходим к сравнению показателей с сохранением знака:

$$-x+1<-1\Rightarrow -x<-2\Rightarrow x>2.$$

Это решение соответствует варианту B.

2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}<0$

Квадрат числа $(x-4{)}^2$ всегда неотрицателен. Для того чтобы дробь была строго меньше нуля, необходимо, чтобы числитель был положителен (не равен нулю), а знаменатель отрицателен:

$$\{\begin{array}{l}(x-4{)}^2\ne 0\\ x-2<0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 4\\ x<2\end{array}\Rightarrow x<2.$$

Это решение соответствует варианту D.

3. ${\log }_{4}x>1$

Так как основание логарифма $4>1\text{,}$ функция возрастает. Неравенство равносильно условию:

$$x>4^1\Rightarrow x>4.$$

Это решение соответствует варианту A.

4. $(x-4)(x-2)<0$

Это квадратичное неравенство. Корнями уравнения $(x-4)(x-2)=0$ являются числа 2 и 4. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, выражение принимает отрицательные значения на интервале между корнями:

$$2<x<4.$$

Это решение соответствует варианту C.

Сопоставим полученные результаты с вариантами:

• решение A ($x>4$) — неравенство 3;
• решение B ($x>2$) — неравенство 1;
• решение C ($2<x<4$) — неравенство 4;
• решение D ($x<2$) — неравенство 2.

Ответ: 3142