Задача №13542

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Числа:

• ${\log }_{5}20$

Отрезки:
1. $[0;1]$
2. $[1;2]$
3. $[2;3]$
4. $[3;4]$

Оценим значение ${\log }_{5}20\text{.}$

Известно, что $5^1=5$ и $5^2=25\text{.}$ Так как $5<20<25\text{,}$ то по свойствам логарифмической функции с основанием $5>1$ (возрастающей) имеем:

$${\log }_{5}5<{\log }_{5}20<{\log }_{5}25$$ $$1<{\log }_{5}20<2$$

Следовательно, ${\log }_{5}20$ принадлежит отрезку $[1;2]\text{.}$

Для проверки можно вычислить точнее:

$${\log }_{5}20={\log }_5(4\cdot 5)={\log }_{5}4+{\log }_{5}5={\log }_{5}4+1$$

Оценим ${\log }_{5}4\text{:}$

$5^0=1\text{,}$ $5^1=5\text{,}$ так что $0<{\log }_{5}4<1\text{.}$

Более точно:

$${\log }_{5}4=\frac{\ln 4}{\ln 5}\approx \frac{1,3863}{1,6094}\approx 0,8614$$

Поэтому ${\log }_{5}20\approx 1,8614\text{,}$ что действительно лежит в $[1;2]\text{.}$

Таким образом, число ${\log }_{5}20$ соответствует отрезку $[1;2]\text{.}$