Задача №13541

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^{-x+1}<\frac{1}{2}$
2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}<0$
3. ${\log }_{4}x>1$
4. $(x-4)(x-2)<0$

Решения:
А. $x>4$
Б. $x>2$
В. $2<x<4$
Г. $x<2$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $2^{-x+1}<\frac{1}{2}$

Представим правую часть как степень с основанием 2:

$$2^{-x+1}<2^{-1}$$

Так как основание степени $2>1\text{,}$ то знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$$-x+1<-1\Rightarrow -x<-2\Rightarrow x>2$$

Это решение соответствует варианту Б.

2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}<0$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Выражение $(x-4{)}^2$ всегда неотрицательно ($⩾0$). Чтобы дробь была строго меньше нуля, числитель должен быть положителен (то есть $x\ne 4$), а знаменатель — отрицателен:

$$x-2<0\Rightarrow x<2$$

Условие $x\ne 4$ выполняется автоматически при $x<2\text{.}$ Таким образом, решение — $x<2\text{.}$ Это соответствует варианту Г.

3. ${\log }_{4}x>1$

Так как основание логарифма $4>1\text{,}$ функция возрастает. По определению логарифма и с учётом ОДЗ:

$$x>4^1\Rightarrow x>4$$

Это соответствует варианту А.

4. $(x-4)(x-2)<0$

Это квадратичное неравенство. Рассмотрим соответствующую функцию $f(x)=(x-4)(x-2)\text{.}$ Её нули: $x=2$ и $x=4\text{.}$ График — парабола с ветвями, направленными вверх. Отрицательные значения находятся между корнями:

$$2<x<4$$

Это соответствует варианту В.

Установим итоговое соответствие. Для неравенств 1, 2, 3, 4 соответствуют решения Б, Г, А, В. Переводя в формат соответствия букв А, Б, В, Г номерам неравенств:
А — 3
Б — 1
В — 4
Г — 2

Ответ: 3142