Задача №13526

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^x⩾4$
2. $0,5^x⩾4$
3. $0,5^x⩽4$
4. $2^x⩽4$

Решения:
A. $(-\infty ;-2]$
B. $[2;+\infty )$
C. $(-\infty ;2]$
D. $[-2;+\infty )$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство $2^x⩾4\text{.}$
Представим $4$ как степень двойки: $4=2^2\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид
$2^x⩾2^2\text{.}$

Так как основание $2>1\text{,}$ показательная функция $y=2^x$ возрастает, поэтому неравенство равносильно $x⩾2\text{.}$ Следовательно, решение: $x\in [2;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту B.

2. Неравенство $0,5^x⩾4\text{.}$
Заметим, что

$$0,5=\frac{1}{2}=2^{-1}.$$

Тогда $0,5^x=(2^{-1}{)}^x=2^{-x}\text{.}$ Неравенство принимает вид
$2^{-x}⩾2^2\text{.}$

Основание $2>1\text{,}$ функция возрастает, поэтому $-x⩾2\text{,}$ откуда $x⩽-2\text{.}$ Решение: $x\in (-\infty ;-2]\text{.}$ Это соответствует варианту A.

3. Неравенство $0,5^x⩽4\text{.}$
Аналогично предыдущим пунктам
$2^{-x}⩽2^2\text{.}$

С учётом возрастания функции $y=2^t\text{,}$ получаем $-x⩽2\text{,}$ значит $x⩾-2\text{.}$ Решение: $x\in [-2;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту D.

4. Неравенство $2^x⩽4\text{.}$
Оно равносильно неравенству
$2^x⩽2^2\text{.}$

Поскольку основание $2>1\text{,}$ то $x⩽2\text{.}$ Решение: $x\in (-\infty ;2]\text{.}$ Это соответствует варианту C.

Таким образом, устанавливаем соответствие: 1 — B, 2 — A, 3 — D, 4 — C.

Ответ: 1 — B, 2 — A, 3 — D, 4 — C.