Задача №13525

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:

1) $\frac{x-5}{(x-3{)}^2}<0$
2) $5^{-x+1}<\frac{1}{25}$
3) $(x-3)(x-5)>0$
4) ${\log }_2(x-3)<1$

Решения:

1) $(-\infty ;3)\cup (5;+\infty )$
2) $(-\infty ;3)\cup (3;5)$
3) $(3;5)$
4) $(3;+\infty )$

В ответе для каждого неравенства 1, 2, 3, 4 укажите номер соответствующего решения. Запишите выбранные цифры подряд, без пробелов и других символов.

Решим каждое неравенство и подберём соответствующий промежуток.

Неравенство 1: $\frac{x-5}{(x-3{)}^2}<0\text{.}$ Знаменатель $(x-3{)}^2>0$ при всех $x\ne 3\text{,}$ поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя. Значит $x-5<0\text{,}$ то есть $x<5\text{,}$ причём $x\ne 3\text{.}$ Решение: $(-\infty ;3)\cup (3;5)$ — это промежуток под номером 2.

Неравенство 2: $5^{-x+1}<\frac{1}{25}\text{.}$ Так как $\frac{1}{25}=5^{-2}\text{,}$ получаем $5^{-x+1}<5^{-2}\text{.}$ Основание $5>1\text{,}$ показательная функция возрастает, поэтому $-x+1<-2\text{,}$ откуда $x>3\text{.}$ Решение: $(3;+\infty )$ — это промежуток под номером 4.

Неравенство 3: $(x-3)(x-5)>0\text{.}$ Корни $x=3$ и $x=5\text{,}$ парабола ветвями вверх, выражение положительно вне корней: $(-\infty ;3)\cup (5;+\infty )$ — это промежуток под номером 1.

Неравенство 4: ${\log }_2(x-3)<1\text{.}$ Область определения: $x-3>0\text{,}$ то есть $x>3\text{.}$ Так как $1={\log }_{2}2\text{,}$ неравенство равносильно $x-3<2\text{,}$ то есть $x<5\text{.}$ С учётом области определения получаем $(3;5)$ — это промежуток под номером 3.

Итоговое соответствие: неравенству 1 соответствует решение 2, неравенству 2 — решение 4, неравенству 3 — решение 1, неравенству 4 — решение 3.

Записываем номера подряд: 2413.