Задача №13519

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^x⩾1$
2. $0,5^x⩾2$
3. $0,5^x⩽2$
4. $2^x⩽1$

Решения:
A. $(-\infty ;-1]$
B. $(-\infty ;0]$
C. $[-1;+\infty )$
D. $[0;+\infty )$

Для показательных неравенств вида $a^x⩾b$ или $a^x⩽b$ используем свойства показательной функции:

• Если $a>1\text{,}$ функция $a^x$ возрастает, и неравенство $a^x⩾a^y$ равносильно $x⩾y\text{.}$
• Если $0<a<1\text{,}$ функция $a^x$ убывает, и неравенство $a^x⩾a^y$ равносильно $x⩽y\text{.}$

Решим каждое неравенство:

1. $2^x⩾1$
Заметим, что $1=2^0\text{.}$ Основание $2>1\text{,}$ поэтому:

$$2^x⩾2^0\Rightarrow x⩾0$$

Решение: $x\in [0;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту D.

2. $0,5^x⩾2$
Основание $0,5=\frac{1}{2}<1\text{.}$ Представим 2 как степень с основанием 0,5: $2=(0,5{)}^{-1}\text{.}$
Тогда:

$$0,5^x⩾0,5^{-1}$$

Поскольку основание меньше 1, знак неравенства меняется при переходе к показателям:

$$x⩽-1$$

Решение: $x\in (-\infty ;-1]\text{,}$ что соответствует варианту A.

3. $0,5^x⩽2$
Аналогично, $2=0,5^{-1}\text{,}$ основание $0,5<1\text{:}$

$$0,5^x⩽0,5^{-1}\Rightarrow x⩾-1$$

Решение: $x\in [-1;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту C.

4. $2^x⩽1$
$1=2^0\text{,}$ основание $2>1\text{:}$

$$2^x⩽2^0\Rightarrow x⩽0$$

Решение: $x\in (-\infty ;0]\text{,}$ что соответствует варианту B.

Таким образом, устанавливаем соответствие:

• Неравенство 1 соответствует решению D.
• Неравенство 2 соответствует решению A.
• Неравенство 3 соответствует решению C.
• Неравенство 4 соответствует решению B.

Ответ: DACB.