Задача №13509

Число $m$ равно ${\log }_{5}4\text{.}$

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Числа:
1. $4-m$
2. $-\frac{2}{m}$
3. $\sqrt{m+1}$
4. $m^2$

Отрезки:
A. $[-3;-2]$
B. $[0;1]$
C. $[1;2]$
D. $[3;4]$

В таблице под каждой буквой укажите номер соответствующего числа.

Дано: $m={\log }_{5}4\text{.}$ Оценим значение $m\text{.}$ Так как $5^0<4<5^1\text{,}$ то $0<m<1\text{.}$ При более точной оценке: $0,8<m<0,9$ (так как $5^{0,86}\approx 4$).

1. Для числа $4-m\text{:}$
Поскольку $m\approx 0,86\text{,}$ то $4-m\approx 4-0,86=3,14\text{.}$ Это значение лежит в интервале $[3;4]\text{,}$ что соответствует отрезку D.

2. Для числа $-\frac{2}{m}\text{:}$
Поскольку $0,8<m<0,9\text{,}$ оценим обратную величину: $\frac{10}{9}<\frac{1}{m}<\frac{10}{8}\text{.}$ Умножим все части неравенства на $-2\text{:}$

$$-2\cdot \frac{10}{8}<-\frac{2}{m}<-2\cdot \frac{10}{9}\Rightarrow -2,5<-\frac{2}{m}<-2,\mathrm{22...}$$

Это значение попадает в отрезок $[-3;-2]\text{,}$ что соответствует букве A.

3. Для числа $\sqrt{m+1}\text{:}$
Так как $0,8<m<0,9\text{,}$ то $1,8<m+1<1,9\text{.}$ Извлекая корень, получим $\sqrt{1,8}<\sqrt{m+1}<\sqrt{1,9}\text{.}$ Приблизительно это составляет $(1,34;1,38)\text{.}$ Данное число находится в отрезке $[1;2]\text{,}$ что соответствует букве C.

4. Для числа $m^2\text{:}$
Так как $0,8<m<0,9\text{,}$ то $0,64<m^2<0,81\text{.}$ Это значение лежит в отрезке $[0;1]\text{,}$ что соответствует букве B.

Установим соответствие между буквами и номерами:
A — 2, B — 4, C — 3, D — 1.

Ответ: 2431.