Задача №13458

Найдите корень уравнения ${\log }_5(2x-6)-{\log }_{5}2={\log }_{5}3\text{.}$

Уравнение: ${\log }_5(2x-6)-{\log }_{5}2={\log }_{5}3\text{.}$

1. Используем свойство логарифмов: ${\log }_5\left(\frac{2x-6}{2}\right)={\log }_{5}3\text{.}$
2. Отбрасываем логарифмы: $\frac{2x-6}{2}=3\text{.}$
3. Умножаем обе части на 2: $2x-6=6\text{.}$
4. Решаем: $2x=6+6\text{,}$ $2x=12\text{,}$ $x=6\text{.}$
5. Проверка ОДЗ: аргумент $2x-6>0\text{.}$ При $x=6\text{:}$ $2\cdot 6-6=12-6=6>0$ — верно.

Ответ: $x=6\text{.}$