Задача №06337

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Пусть на каждом этаже $k$ квартир. Поскольку дом пятиэтажный, в одном подъезде всего $5k$ квартир. Нумерация квартир начинается с 1 и идёт последовательно по подъездам: в первом подъезде квартиры с 1 по $5k\text{,}$ во втором — с $5k+1$ по $10k$ и т. д.

Саша живёт в 12-м подъезде, квартира № 465. Значит, номер 465 должен находиться в диапазоне квартир 12-го подъезда. Для подъезда номер $n$ квартиры начинаются с номера $5k(n-1)+1$ и заканчиваются $5kn\text{.}$ Для $n=12\text{:}$

Решим это двойное неравенство.

1. Левая часть:
$5k\cdot 11+1⩽465\Rightarrow 55k⩽464\Rightarrow k⩽\frac{464}{55}\approx 8,436\text{.}$
Так как $k$ — целое число, то $k⩽8\text{.}$

2. Правая часть:
$465⩽60k\Rightarrow k⩾\frac{465}{60}=7,75\text{.}$
Так как $k$ — целое число, то $k⩾8\text{.}$

Следовательно, $k=8\text{.}$ Проверим: при $k=8$ диапазон номеров квартир в 12-м подъезде:
$5\cdot 8\cdot 11+1=441$ и $5\cdot 8\cdot 12=480\text{.}$
Условие $441⩽465⩽480$ выполняется.

Таким образом, на каждом этаже 8 квартир, а в одном подъезде $5\cdot 8=40$ квартир.

Найдём этаж квартиры № 465 в 12-м подъезде. Порядковый номер квартиры внутри подъезда:
$465-441+1=25\text{.}$

На каждом этаже 8 квартир. Распределим квартиры по этажам:
1. Первый этаж: квартиры с 1-й по 8-ю.
2. Второй этаж: квартиры с 9-й по 16-ю.
3. Третий этаж: квартиры с 17-й по 24-ю.
4. Четвёртый этаж: квартиры с 25-й по 32-ю.

Квартира с порядковым номером 25 попадает на четвёртый этаж.

Ответ: 4