Задача №21009

Расстояние от основания $H$ высоты правильной четырёхугольной пирамиды до бокового ребра равно $\sqrt{3}\text{.}$ Расстояние от точки $H$ до боковой грани равно $\sqrt{2}\text{.}$

Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат основания. Обозначим $SH=h\text{,}$ $HA=\rho \text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHA\text{.}$ Расстояние от $H$ до бокового ребра $SA$ является высотой, проведённой к гипотенузе:
$\frac{h\rho }{\sqrt{h^2+{\rho }^2}}=\sqrt{3}\text{.}$

После возведения в квадрат:
$\frac{h^2{\rho }^2}{h^2+{\rho }^2}=3\text{.}$ \hfill (1)

Пусть $M$ — середина стороны $AB\text{.}$ Для квадрата $HM=\frac{\rho }{\sqrt{2}}\text{.}$

Плоскость $SHM$ является перпендикулярным сечением боковой грани $SAB\text{.}$ Поэтому расстояние от $H$ до грани $SAB$ равно высоте из $H$ к $SM$ в прямоугольном треугольнике $SHM\text{:}$
$\frac{h\cdot \frac{\rho }{\sqrt{2}}}{\sqrt{h^2+\frac{{\rho }^2}{2}}}=\sqrt{2}\text{.}$

После возведения в квадрат:
$\frac{h^2{\rho }^2}{2h^2+{\rho }^2}=2\text{.}$ \hfill (2)

Из (1): $h^2{\rho }^2=3h^2+3{\rho }^2\text{.}$
Из (2): $h^2{\rho }^2=4h^2+2{\rho }^2\text{.}$

Следовательно, $3h^2+3{\rho }^2=4h^2+2{\rho }^2\text{,}$ $h^2={\rho }^2\text{.}$
Так как $h,\rho >0\text{,}$ $h=\rho \text{.}$

Подставляем в (1): $\frac{h^4}{2h^2}=3\text{,}$ $\frac{h^2}{2}=3\text{,}$ $h^2=6\text{.}$

Таким образом, $h=\rho =\sqrt{6}\text{.}$

Точка $H$ равноудалена от вершины $S$ и всех вершин основания:
$HS=HA=HB=HC=HD=\sqrt{6}\text{.}$

Следовательно, $H$ является центром описанной сферы.

$$\boxed{\sqrt{6}}.$$