Дана треугольная призма ABCA'B'C' с основанием ABC и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' . На диагоналях AB' , BC' , CA' отмечены точки D , E , F соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость DEF делит отрезок AA' , если AD : DB' = 1 : 1 , BE : EC' = 1 : 2 , CF : FA' = 1 : 3 .

Точки D и F лежат в плоскости BCA' . Обозначим через G точку пересечения прямой DF с прямой BC . Из того, что AD : DB' = 1 : 1 , CF : FA' = 1 : 3 , следует, что GC = (1)/(2)BC . Обозначим через H точку пересечения прямой GE с прямой CC' . Из того, что GC = (1)/(2)BC и BE : EC' = 1 : 2 , следует, что CH = (1)/(7)CC' . Обозначая через K точку пересечения прямой HF с прямой AA' , получаем KA' = (3)/(7)AA' . Стало быть, A'K : KA = 3 : 4 .

3 : 4