Задача №17499

Дана треугольная призма $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{.}$ На диагоналях $A{B}^{\prime }\text{,}$ $B{C}^{\prime }\text{,}$ $C{A}^{\prime }$ отмечены точки $D\text{,}$ $E\text{,}$ $F$ соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость $DEF$ делит отрезок $A{A}^{\prime }\text{,}$ если $AD:D{B}^{\prime }=1:1\text{,}$ $BE:E{C}^{\prime }=1:2\text{,}$ $CF:F{A}^{\prime }=1:3\text{.}$

Точки $D$ и $F$ лежат в плоскости $BC{A}^{\prime }\text{.}$ Обозначим через $G$ точку пересечения прямой $DF$ с прямой $BC\text{.}$ Из того, что $AD:D{B}^{\prime }=1:1\text{,}$ $CF:F{A}^{\prime }=1:3\text{,}$ следует, что $GC=\frac{1}{2}BC\text{.}$ Обозначим через $H$ точку пересечения прямой $GE$ с прямой $C{C}^{\prime }\text{.}$ Из того, что $GC=\frac{1}{2}BC$ и $BE:E{C}^{\prime }=1:2\text{,}$ следует, что $CH=\frac{1}{7}C{C}^{\prime }\text{.}$ Обозначая через $K$ точку пересечения прямой $HF$ с прямой $A{A}^{\prime }\text{,}$ получаем $K{A}^{\prime }=\frac{3}{7}A{A}^{\prime }\text{.}$ Стало быть, $A^{\prime }K:KA=3:4\text{.}$