Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник ABCDEF, а её боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Расстояния от точек B и C до прямой SD равны соответственно sqrt((23)/(14)) и sqrt((15)/(14)). Чему равна площадь треугольника ASD? Найти отношение наименьшей из площадей треугольных сечений пирамиды, проходящих через ребро SD, к площади треугольника ASD.

Введём систему координат в плоскости основания с центром в центре правильного шестиугольника ABCDEF. Пусть сторона шестиугольника равна a; тогда радиус описанной окружности тоже равен a, и вершины можно записать так: A=(a,0,0), B=( a2,(a3)/(2),0), C=(- a2,(a3)/(2),0), D=(-a,0,0). Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, поэтому при SA=h имеем S=(a,0,h). **Расстояния от B и C до прямой SD.** Направляющий вектор прямой SD равен DS=S-D=(2a,0,h), и |DS|^2=4a^2+h^2. Для точки P расстояние до прямой SD находим по формуле d^2=(|DP*DS|^2)/(|DS|^2). Прямое вычисление даёт d_B^(2)=(3a^2(a^2+h^2))/(4a^2+h^2), d_C^(2)=(a^2(3a^2+h^2))/(4a^2+h^2). По условию d_B^(2)=(23)/(14), d_C^(2)=(15)/(14). Обозначим для удобства u=a^2>0, v=h^2>0. Получаем систему (3u(u+v))/(4u+v)=(23)/(14), (u(3u+v))/(4u+v)=(15)/(14). Разделив первое уравнение на второе, получаем (3(u+v))/(3u+v)=(23)/(15), откуда 45(u+v)=23(3u+v), то есть 45u+45v=69u+23v, значит 22v=24u и v=(12)/(11)u. Подставляя во второе уравнение: 3u+v=(45)/(11)u и 4u+v=(56)/(11)u, поэтому (u* (45)/(11)u)/((56)/(11)u)=(45)/(56)u=(15)/(14) u=(15)/(14)*(56)/(45)=43. Тогда v=(12)/(11)*43=(16)/(11). Итак, a^2=43, h^2=(16)/(11), a=(2)/(3), h=(4)/(sqrt(11)). (Решение единственно в положительных числах, посторонних корней нет.) **Площадь треугольника ASD.** В треугольнике ASD сторона AD=2a лежит в основании, а ребро SA=h перпендикулярно основанию, значит SA AD. Поэтому треугольник прямоугольный с катетами AD=2a и SA=h, и S_(ASD)=12* 2a* h=ah=(2)/(3)*(4)/(sqrt(11))=(8)/(sqrt(33)). **Наименьшее треугольное сечение через ребро SD.** Любая плоскость, проходящая через прямую SD, содержит апекс S и вершину основания D; её пересечение с плоскостью основания есть прямая, проходящая через D. Эта прямая пересекает контур шестиугольника в D и ещё в одной точке X, лежащей на границе основания. Поэтому всякое треугольное сечение пирамиды через SD имеет вид SDX, где X пробегает периметр шестиугольника. Площадь такого сечения S_(SDX)=12|SD|* d(X,SD), а |SD|=sqrt(4a^2+h^2) фиксировано. Значит минимизировать площадь сечения — то же, что минимизировать расстояние от точки X границы основания до прямой SD. Для точки основания P=(x,y,0) расстояние до прямой SD равно d^2(P)=((4a^2+h^2)y^2+h^2(x+a)^2)/(4a^2+h^2). Подставляя a^2=43, h^2=(16)/(11) (тогда 4a^2+h^2=(56)/(11)* a^2*(1)/(a^2) — после упрощения), получаем удобный вид d^2(x,y)=y^2+((3x+23)^2)/(42). Минимум d^2 по контуру ищем на каждой стороне. По симметрии относительно прямой AD (оси Ox) достаточно рассмотреть «верхнюю» половину. На сторонах, прилегающих к D (то есть CD и DE), точка X совпала бы с D — это вырожденный случай. На стороне BC наименьшее расстояние достигается в вершине C и равно d_C=sqrt(15/14). Решающим оказывается участок стороны AB: параметризуем X=A+t(B-A), tin[0,1]. Подстановка координат даёт d^2(t)=t^2+((t-4)^2)/(14). Минимизируем: (d)/(dt)(t^2+((t-4)^2)/(14))=2t+(t-4)/(7)=0, откуда 15t=4, то есть t=(4)/(15)in(0,1) — минимум достигается строго внутри стороны AB. При этом d^2_()=((4)/(15))^2+(((4)/(15)-4)^2)/(14)=(16)/(225)+(1)/(14)*(56^2)/(225)=(16)/(15). Так как (16)/(15)<(15)/(14), это меньше, чем во всех вершинах; значит наименьшее сечение даёт именно точка X внутри ребра AB (и симметричная ей на ребре FA). Сравнение по всем сторонам контура подтверждает: d_()^2=(16)/(15) — глобальный минимум. **Искомое отношение.** Площадь наименьшего сечения S_()=12|SD|* d_(), S_(ASD)=12|SD|* d_A, где d_A — расстояние от вершины A до прямой SD. Удобнее взять отношение площадей напрямую: так как S_(ASD)=a h, а |SD|^2=4a^2+h^2=(56)/(11)a^2=(56)/(11)*43=(224)/(33), то S_()=12sqrt((224)/(33))*sqrt((16)/(15)). Отсюда (S_())/(S_(ASD))=(12sqrt((224)/(33))*sqrt((16)/(15)))/((8)/(sqrt(33))) =sqrt((14)/(15)). (Прямой подсчёт: S_()=(8sqrt(770))/(165)~1,3454, S_(ASD)=(8)/(sqrt(33))~1,3926, их отношение ~0,9661=sqrt(14/15).) **Ответ.** S_(ASD)=(8)/(sqrt(33)), (S_())/(S_(ASD))=sqrt((14)/(15)).

\(S_{ASD}=\frac{8}{\sqrt{33}},\quad \sqrt{\frac{14}{15}}\)