Задача №18212

Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник $ABCDEF\text{,}$ а её боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Расстояния от точек $B$ и $C$ до прямой $SD$ равны соответственно $\sqrt{\frac{23}{14}}$ и $\sqrt{\frac{15}{14}}\text{.}$ Чему равна площадь треугольника $ASD\text{?}$ Найти отношение наименьшей из площадей треугольных сечений пирамиды, проходящих через ребро $SD\text{,}$ к площади треугольника $ASD\text{.}$

Введём систему координат в плоскости основания с центром в центре правильного шестиугольника $ABCDEF\text{.}$ Пусть сторона шестиугольника равна $a\text{;}$ тогда радиус описанной окружности тоже равен $a\text{,}$ и вершины можно записать так:

Боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому при $SA=h$ имеем $S=(a,0,h)\text{.}$

Расстояния от $B$ и $C$ до прямой $SD\text{.}$

Направляющий вектор прямой $SD$ равен $\overrightarrow{DS}=S-D=(2a,0,h)\text{,}$ и $|\overrightarrow{DS}{|}^2=4a^2+h^2\text{.}$ Для точки $P$ расстояние до прямой $SD$ находим по формуле $d^2=\frac{|\overrightarrow{DP}\times \overrightarrow{DS}{|}^2}{|\overrightarrow{DS}{|}^2}\text{.}$ Прямое вычисление даёт

По условию $d_B^2=\frac{23}{14}\text{,}$ $d_C^2=\frac{15}{14}\text{.}$ Обозначим для удобства $u=a^2>0,v=h^2>0\text{.}$ Получаем систему

Разделив первое уравнение на второе, получаем $\frac{3(u+v)}{3u+v}=\frac{23}{15}\text{,}$ откуда $45(u+v)=23(3u+v)\text{,}$ то есть $45u+45v=69u+23v\text{,}$ значит $22v=24u$ и

Подставляя во второе уравнение: $3u+v=\frac{45}{11}u$ и $4u+v=\frac{56}{11}u\text{,}$ поэтому

Тогда $v=\frac{12}{11}\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{11}\text{.}$ Итак,

(Решение единственно в положительных числах, посторонних корней нет.)

Площадь треугольника $ASD\text{.}$

В треугольнике $ASD$ сторона $AD=2a$ лежит в основании, а ребро $SA=h$ перпендикулярно основанию, значит $SA\perp AD\text{.}$ Поэтому треугольник прямоугольный с катетами $AD=2a$ и $SA=h\text{,}$ и

Наименьшее треугольное сечение через ребро $SD\text{.}$

Любая плоскость, проходящая через прямую $SD\text{,}$ содержит апекс $S$ и вершину основания $D\text{;}$ её пересечение с плоскостью основания есть прямая, проходящая через $D\text{.}$ Эта прямая пересекает контур шестиугольника в $D$ и ещё в одной точке $X\text{,}$ лежащей на границе основания. Поэтому всякое треугольное сечение пирамиды через $SD$ имеет вид $△SDX\text{,}$ где $X$ пробегает периметр шестиугольника. Площадь такого сечения

а $|SD|=\sqrt{4a^2+h^2}$ фиксировано. Значит минимизировать площадь сечения — то же, что минимизировать расстояние от точки $X$ границы основания до прямой $SD\text{.}$

Для точки основания $P=(x,y,0)$ расстояние до прямой $SD$ равно

Подставляя $a^2=\frac{4}{3},h^2=\frac{16}{11}$ (тогда $4a^2+h^2=\frac{56}{11}\cdot a^2\cdot \frac{1}{a^2}\dots$ — после упрощения), получаем удобный вид

Минимум $d^2$ по контуру ищем на каждой стороне. По симметрии относительно прямой $AD$ (оси $Ox$) достаточно рассмотреть «верхнюю» половину. На сторонах, прилегающих к $D$ (то есть $CD$ и $DE$), точка $X$ совпала бы с $D$ — это вырожденный случай. На стороне $BC$ наименьшее расстояние достигается в вершине $C$ и равно $d_C=\sqrt{15/14}\text{.}$ Решающим оказывается участок стороны $AB\text{:}$ параметризуем $X=A+t(B-A),t\in [0,1]\text{.}$ Подстановка координат даёт

Минимизируем: $\frac{d}{dt}(t^2+\frac{(t-4{)}^2}{14})=2t+\frac{t-4}{7}=0\text{,}$ откуда $15t=4\text{,}$ то есть $t=\frac{4}{15}\in (0,1)$ — минимум достигается строго внутри стороны $AB\text{.}$ При этом

Так как $\frac{16}{15}<\frac{15}{14}\text{,}$ это меньше, чем во всех вершинах; значит наименьшее сечение даёт именно точка $X$ внутри ребра $AB$ (и симметричная ей на ребре $FA$). Сравнение по всем сторонам контура подтверждает: $d_{\min }^2=\frac{16}{15}$ — глобальный минимум.

Искомое отношение.

Площадь наименьшего сечения

где $d_A$ — расстояние от вершины $A$ до прямой $SD\text{.}$ Удобнее взять отношение площадей напрямую: так как $S_{ASD}=ah\text{,}$ а $|SD{|}^2=4a^2+h^2=\frac{56}{11}{a}^2=\frac{56}{11}\cdot \frac{4}{3}=\frac{224}{33}\text{,}$ то

Отсюда

(Прямой подсчёт: $S_{\min }=\frac{8\sqrt{770}}{165}\approx 1,3454\text{,}$ $S_{ASD}=\frac{8}{\sqrt{33}}\approx 1,3926\text{,}$ их отношение $\approx 0,9661=\sqrt{14/15}\text{.}$)

Ответ.