Задача №17661

Пересечение плоскости и правильной треугольной пирамиды является квадратом со стороной 1. Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что двугранный угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$

Поскольку сечение — четырёхугольник, плоскость пересекает все грани. Обозначим вершины основания через $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и вершину пирамиды через $D\text{.}$ Тогда можно считать, что секущая плоскость пересекает рёбра $AB\text{,}$ $BD\text{,}$ $DC\text{,}$ $CA$ в точках $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ соответственно. Поскольку $KL\parallel MN\text{,}$ прямая $KL$ параллельна всей плоскости $ADC\text{.}$ Стало быть, $MN\parallel KL\parallel AD\text{.}$ Аналогично, $KN\parallel BC\parallel LM\text{.}$
Положим $a=AB\text{,}$ $b=AD\text{.}$ Тогда косинус двугранного угла при основании равен

что по условию равно $\frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ откуда $\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$
Из того, что $KL\parallel AD\text{,}$ $LM\parallel BC$ получаем:

Таким образом,

то есть $a=1+\sqrt{2}\text{.}$