Пересечение плоскости и правильной треугольной пирамиды является квадратом со стороной 1. Найдите длину ребра основания пирамиды, если известно, что двугранный угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен arccos(1)/(sqrt(3)).

Поскольку сечение — четырёхугольник, плоскость пересекает все грани. Обозначим вершины основания через A, B, C и вершину пирамиды через D. Тогда можно считать, что секущая плоскость пересекает рёбра AB, BD, DC, CA в точках K, L, M, N соответственно. Поскольку KL MN, прямая KL параллельна всей плоскости ADC. Стало быть, MN KL AD. Аналогично, KN BC LM. Положим a=AB, b=AD. Тогда косинус двугранного угла при основании равен ((a)/(2sqrt(3)))/(sqrt(b^2-(a^2)/(4)))=(1)/(sqrt(3(4((b)/(a))^2-1))), что по условию равно (1)/(sqrt(3)), откуда (b)/(a)=(1)/(sqrt(2)). Из того, что KL AD, LM BC получаем: (1)/(a)=(LM)/(BC)=(DL)/(DB)=(DB-LB)/(DB)=1-(LB)/(DB)=1-(KL)/(AD)=1-(1)/(b). Таким образом, (1)/(a)=1-(sqrt(2))/(a), то есть a=1+sqrt(2).

\(1+\sqrt{2}\)