Задача №21008

Даны положительные действительные числа $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющие равенству $a+b+c=3\text{.}$

Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{a^2}{a+\frac{1}{a}}+\frac{b^2}{b+\frac{1}{b}}+\frac{c^2}{c+\frac{1}{c}}.$$

Преобразуем каждое слагаемое:
$\frac{a^2}{a+\frac{1}{a}}=\frac{a^3}{a^2+1}=a-\frac{a}{a^2+1}\text{.}$

Поэтому всё выражение равно
$a+b+c-(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1})\text{.}$

Так как $a+b+c=3\text{,}$ получаем $3-(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1})\text{.}$

Для любого положительного $a\text{:}$ $(a-1{)}^2\ge 0⟹a^2+1\ge 2a\text{,}$ следовательно, $\frac{a}{a^2+1}\le \frac{1}{2}\text{.}$
Аналогично $\frac{b}{b^2+1}\le \frac{1}{2}\text{,}$ $\frac{c}{c^2+1}\le \frac{1}{2}\text{.}$

Значит,
$3-(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1})\ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\text{.}$

Равенство достигается при $a=b=c=1\text{.}$

$$\boxed{\frac{3}{2}}.$$