Задача №17887

Найдите все пары $(\alpha ,\beta )\text{,}$ при которых достигается минимум выражения

$$\frac{4-3\sin \alpha }{2+\cos 2\alpha }+\frac{2+\cos 2\alpha }{{\beta }^2+\beta +1}+\frac{{\beta }^2+\beta +1}{\sqrt{\beta }+1}+\frac{\sqrt{\beta }+1}{4-3\sin \alpha }.$$

Заметим, что все числители и знаменатели положительны. Заметим также, что для любых положительных $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ справедливо

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}⩾2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}}+2\sqrt{\frac{c}{d}\cdot \frac{d}{a}}=2\sqrt{\frac{a}{c}}+2\sqrt{\frac{c}{a}}⩾4\sqrt{\sqrt{\frac{a}{c}}\cdot \sqrt{\frac{c}{a}}}=4,$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

$$a=b=c=d.$$

Получаем систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}4-3\sin \alpha =2+\cos 2\alpha \\ 4-3\sin \alpha =\sqrt{\beta }+1\\ {\beta }^2+\beta +1=\sqrt{\beta }+1\end{array}(1)$$

Первое уравнение из (1) переписывается как

$$2{\sin }^2\alpha -3\sin \alpha +1=0,$$

откуда либо $\sin \alpha =1\text{,}$ либо $\sin \alpha =1/2\text{.}$ При этих значениях $\alpha$ выражение $4-3\sin \alpha$ равно соответственно 1 и 5/2.
Второе уравнение из (1) переписывается как

$$\sqrt{\beta }({\sqrt{\beta }}^3+\sqrt{\beta }-1)=0.$$

Это уравнение имеет два корня: $\beta =0$ и $\beta =\varkappa \text{,}$ $0<\varkappa <1\text{.}$ При этих значениях $\beta$ выражение $\sqrt{\beta }+1$ либо равно 1, либо заключено строго между 1 и 2.
Стало быть, ввиду второго уравнения из (1) имеем

$$\sin \alpha =1,\beta =0.$$