Найдите все пары (alpha,beta), при которых достигается минимум выражения (4-3)/(2+cos 2alpha)+(2+cos 2alpha)/(beta^2+beta+1)+(beta^2+beta+1)/(sqrt(beta)+1)+(sqrt(beta)+1)/(4-3).

Заметим, что все числители и знаменатели положительны. Заметим также, что для любых положительных a, b, c, d справедливо (a)/(b)+(b)/(c)+(c)/(d)+(d)/(a) 2sqrt((a)/(b)*(b)/(c))+2sqrt((c)/(d)*(d)/(a))=2sqrt((a)/(c))+2sqrt((c)/(a)) 4sqrt((a)/(c)*(c)/(a))=4, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c=d. Получаем систему уравнений cases4-3=2+cos 2alpha 4-3=sqrt(beta)+1 beta^2+beta+1=sqrt(beta)+1cases (1) Первое уравнение из (1) переписывается как 2sin^2alpha-3+1=0, откуда либо =1, либо =1/2. При этих значениях alpha выражение 4-3 равно соответственно 1 и 5/2. Второе уравнение из (1) переписывается как sqrt(beta)(sqrt(beta)^3+sqrt(beta)-1)=0. Это уравнение имеет два корня: beta=0 и beta=, 0<<1. При этих значениях beta выражение sqrt(beta)+1 либо равно 1, либо заключено строго между 1 и 2. Стало быть, ввиду второго уравнения из (1) имеем =1, beta=0.

\alpha = \frac{\pi}{2}+2n\pi\ (n\in\mathbb{Z}),\ \beta=0