Задача №21007

Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $D\text{.}$ Прямые $BD$ и $CD$ пересекают окружность, описанную около треугольника $ABC\text{,}$ в точках $E$ и $F$ соответственно, где $E\ne B\text{,}$ $F\ne C\text{.}$

Найдите все возможные значения угла $\angle BIC\text{,}$ где $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ если

$$BF=FD,DC=CE.$$

Поскольку $D$ лежит внутри окружности, точки расположены в порядке $B-D-E\text{,}$ $C-D-F\text{.}$

Обозначим $\phi =\angle BDF\text{.}$
Углы $\angle BDF$ и $\angle CDE$ вертикальные, поэтому $\angle CDE=\phi \text{.}$

Из $BF=FD$ следует, что треугольник $BFD$ равнобедренный: $\angle FBD=\angle BDF=\phi \text{.}$
Из $DC=CE$ следует, что треугольник $CDE$ равнобедренный: $\angle CDE=\angle DEC=\phi \text{.}$

Так как $B,D,E$ лежат на одной прямой, $\angle FBE=\angle FBD=\phi \text{.}$
В треугольнике $CDE\text{:}$ $\angle DCE=180^{\circ }-2\phi \text{.}$
Поскольку лучи $CD$ и $CF$ совпадают, $\angle FCE=180^{\circ }-2\phi \text{.}$

Хорды $BE$ и $CF$ пересекаются внутри окружности, поэтому их концы чередуются на окружности. Следовательно, точки $B$ и $C$ лежат на одной дуге $FE\text{.}$ Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду $FE\text{,}$ равны: $\angle FBE=\angle FCE\text{.}$

Значит, $\phi =180^{\circ }-2\phi \text{,}$ $3\phi =180^{\circ }\text{,}$ $\phi =60^{\circ }\text{.}$

Таким образом, треугольники $BFD$ и $CDE$ являются равносторонними. В частности, $\angle BEC=\angle DEC=60^{\circ }\text{.}$

Так как $D$ находится внутри треугольника $ABC\text{,}$ точки $A$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно $BC\text{.}$ Точка $E$ лежит на луче $BD\text{,}$ поэтому $A$ и $E$ также лежат в одной полуплоскости относительно $BC\text{.}$

Следовательно, вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BEC\text{,}$ опирающиеся на хорду $BC\text{,}$ равны:
$\angle BAC=\angle BEC=60^{\circ }\text{.}$

Для центра вписанной окружности известно: $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{1}{2}\angle BAC\text{.}$
Поэтому $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{60^{\circ }}{2}=120^{\circ }\text{.}$

Значение достигается, например, если взять правильный шестиугольник с центром $D\text{,}$ а точки $A,B,C$ выбрать через одну вершину.

$$\boxed{120^{\circ }}.$$