Задача №18678

В остроугольном треугольнике $ABC$ из вершины $A$ опущена высота $AH\text{.}$ Отрезок $OH\text{,}$ где $O$ — центр описанной около треугольника окружности, перпендикулярен стороне $AB\text{.}$ Найдите угол $\angle OAH\text{,}$ если известно, что

$$OH=\sqrt{2},BC=2\sqrt{3}.$$

Поскольку $O$ — центр описанной окружности и $OH\perp AB\text{,}$ прямая $OH$ является серединным перпендикуляром к $AB\text{.}$ Поэтому

$$HA=HB.$$

Треугольник $AHB$ прямоугольный при $H\text{,}$ следовательно, он равнобедренный и

$$\angle ABC=\angle ABH=45^{\circ }.$$

Пусть $N$ — середина $BC\text{.}$ Тогда $ON\perp BC$ и $BN=\sqrt{3}\text{.}$ Так как треугольник остроугольный, $\angle A<90^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle C>45^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AHC$ поэтому $AH>HC\text{.}$ Но $AH=HB\text{,}$ значит $HB>HC\text{,}$ и точка $N$ лежит между $B$ и $H\text{.}$

Прямоугольный треугольник $HNO$ имеет угол $45^{\circ }$ при $H\text{.}$ Так как $OH=\sqrt{2}\text{,}$ получаем

$$HN=ON=1.$$

Следовательно,

$$AH=HB=BN+NH=\sqrt{3}+1.$$

Через $O$ проведём $OP\parallel BC\text{,}$ где $P\in AH\text{.}$ Четырёхугольник $HNOP$ — прямоугольник, поэтому

$$HP=ON=1,OP=HN=1.$$

Тогда $AP=\sqrt{3}\text{,}$ и в прямоугольном треугольнике $AOP$

$$\mathrm{tg}\angle OAH=\frac{OP}{AP}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Значит,

$$\angle OAH=30^{\circ }.$$