В остроугольном треугольнике ABC из вершины A опущена высота AH. Отрезок OH, где O — центр описанной около треугольника окружности, перпендикулярен стороне AB. Найдите угол OAH, если известно, что OH=2, BC=23.
Поскольку O — центр описанной окружности и OH AB, прямая OH является серединным перпендикуляром к AB. Поэтому HA=HB. Треугольник AHB прямоугольный при H, следовательно, он равнобедренный и ABC= ABH=45^. Пусть N — середина BC. Тогда ON BC и BN=3. Так как треугольник остроугольный, A<90^, откуда C>45^. В прямоугольном треугольнике AHC поэтому AH>HC. Но AH=HB, значит HB>HC, и точка N лежит между B и H. Прямоугольный треугольник HNO имеет угол 45^ при H. Так как OH=2, получаем HN=ON=1. Следовательно, AH=HB=BN+NH=3+1. Через O проведём OP BC, где Pin AH. Четырёхугольник HNOP — прямоугольник, поэтому HP=ON=1, OP=HN=1. Тогда AP=3, и в прямоугольном треугольнике AOP tg OAH=(OP)/(AP)=13. Значит, OAH=30^.
$30^\circ$