Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Известно, что AD=2+sqrt(3), CD=sqrt(3). Найдите угол CAB, если известно также, что он в два раза меньше угла ACB.

Положим CAB=alpha. Пусть O — центр вписанной окружности и E — точка пересечения биссектрисы CO со стороной AB. Пусть также F — основание высоты треугольника AEC, опущенной из вершины E. По условию ACE=(1)/(2) ACB= CAB=alpha. Стало быть, треугольник AEC равнобедренный и AF=FC. Тогда DF=CF-CD=(1)/(2)AC-CD=(1)/(2)(AD+CD)-CD=(1)/(2)(AD-CD)=1. Рассмотрим треугольник OEH, где H — точка касания окружности и стороны AB. Из подобия прямоугольных треугольников CEF и COD следует, что OE=(DF)/(cos OCD)=(1)/(). Далее, OH=OD=CD*tgalpha=sqrt(3)tgalpha. Наконец, OEH= CEB=180^- EBC- BCE=180^- ABC-alpha=2alpha, откуда sin 2alpha=sin OEH=(OH)/(OE)=sqrt(3). Стало быть, =sqrt(3)/2, то есть alpha=30^.

30^\circ