Задача №17666

Окружность, вписанная в треугольник $ABC\text{,}$ касается стороны $AC$ в точке $D\text{.}$ Известно, что $AD=2+\sqrt{3}\text{,}$ $CD=\sqrt{3}\text{.}$ Найдите угол $\angle CAB\text{,}$ если известно также, что он в два раза меньше угла $\angle ACB\text{.}$

Положим $\angle CAB=\alpha \text{.}$

Пусть $O$ — центр вписанной окружности и $E$ — точка пересечения биссектрисы $CO$ со стороной $AB\text{.}$ Пусть также $F$ — основание высоты треугольника $AEC\text{,}$ опущенной из вершины $E\text{.}$ По условию $\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB=\angle CAB=\alpha \text{.}$ Стало быть, треугольник $AEC$ равнобедренный и $AF=FC\text{.}$ Тогда $DF=CF-CD=\frac{1}{2}AC-CD=\frac{1}{2}(AD+CD)-CD=\frac{1}{2}(AD-CD)=1\text{.}$

Рассмотрим треугольник $OEH\text{,}$ где $H$ — точка касания окружности и стороны $AB\text{.}$ Из подобия прямоугольных треугольников $CEF$ и $COD$ следует, что

Далее,

Наконец, $\angle OEH=\angle CEB=180^{\circ }-\angle EBC-\angle BCE=180^{\circ }-\angle ABC-\alpha =2\alpha \text{,}$ откуда

Стало быть, $\cos \alpha =\sqrt{3}/2\text{,}$ то есть $\alpha =30^{\circ }\text{.}$