Задача №21006

Решите неравенство

$${\log }_x\left({\log }_2\frac{2^{x-1}+\sqrt{2}}{2^{-1/2}+2^{-x}}\right)\le 1.$$

Обозначим $Q(x)=\frac{2^{x-1}+\sqrt{2}}{2^{-1/2}+2^{-x}}\text{,}$ $y={\log }_{2}Q(x)\text{.}$

Для существования внешнего логарифма необходимо $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{,}$ $y>0\text{.}$

Покажем, что при $x>0$ выполняется $Q(x)>1\text{.}$
Действительно, $2^{x-1}+\sqrt{2}>\frac{1}{2}+\sqrt{2}\text{,}$
а $2^{-1/2}+2^{-x}<\frac{1}{\sqrt{2}}+1\text{.}$
При этом $\frac{1}{2}+\sqrt{2}>1+\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ поэтому $Q(x)>1\text{,}$ а значит, $y>0\text{.}$

Теперь сравним $Q(x)$ с $2^x\text{:}$

$$Q(x)\le 2^x⟺2^{x-1}+\sqrt{2}\le 2^x(2^{-1/2}+2^{-x})=2^{x-1/2}+1.$$

Разность правой и левой частей равна

$$2^{x-1/2}+1-2^{x-1}-\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)2^{x-1}-(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2}-1)(2^{x-1}-1).$$

Следовательно, $Q(x)\le 2^x⟺x\ge 1\text{.}$

Так как $y={\log }_{2}Q(x)\text{,}$ получаем:
при $x>1$ $y\le x\text{;}$ при $0<x<1$ $y\ge x\text{.}$

При $x>1$ функция ${\log }_{x}t$ возрастает, поэтому ${\log }_{x}y\le 1⟺y\le x\text{.}$
При $0<x<1$ функция ${\log }_{x}t$ убывает, поэтому ${\log }_{x}y\le 1⟺y\ge x\text{.}$

Оба условия выполняются на всей области определения.

$$\boxed{x\in (0,1)\cup (1,+\infty )}.$$