Задача №18677

Решите неравенство

$$2+{\log }_4\left((25-x^4{)}^{{\log }_{x}2}\right)⩽{\log }_{x}12.$$

Область допустимых значений:

$$0<x<\sqrt{5},x\ne 1.$$

Используем переход к натуральным логарифмам:

$${\log }_4\left((25-x^4{)}^{{\log }_{x}2}\right)=\frac{1}{2}{\log }_x(25-x^4).$$

Поэтому исходное неравенство равносильно

$${\log }_x\left(x^2\sqrt{25-x^4}\right)⩽{\log }_{x}12.$$

При $0<x<1$ логарифмическая функция убывает, и потребовалось бы

$$x^2\sqrt{25-x^4}⩾12.$$

Но левая часть меньше $5\text{,}$ поэтому решений здесь нет.

Пусть $1<x<\sqrt{5}\text{.}$ Тогда

$$x^2\sqrt{25-x^4}⩽12.$$

Обе части неотрицательны. После возведения в квадрат и замены $y=x^4$ получаем

$$y(25-y)⩽144,$$ $$(y-9)(y-16)⩾0.$$

С учётом ОДЗ это даёт

$$x\in (1;\sqrt{3}]\cup [2;\sqrt{5}).$$