Задача №21005

Решите уравнение

$$\frac{\tan x+\cot x}{\cot x-\tan x}=\cos 2x+\frac{\sin 2x}{\sqrt{3}}.$$

ОДЗ: $\sin x\ne 0\text{,}$ $\cos x\ne 0\text{,}$ $\cot x-\tan x\ne 0$ (последнее равносильно $\cos 2x\ne 0$).

Преобразуем левую часть:
$\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\text{,}$
$\cot x-\tan x=\frac{\cos 2x}{\sin x\cos x}\text{.}$

Следовательно,
$\frac{\tan x+\cot x}{\cot x-\tan x}=\frac{1}{\cos 2x}\text{.}$

Получаем
$\frac{1}{\cos 2x}=\cos 2x+\frac{\sin 2x}{\sqrt{3}}\text{.}$

Умножаем на $\cos 2x\ne 0\text{:}$
$1={\cos }^{2}2x+\frac{\sin 2x\cos 2x}{\sqrt{3}}\text{.}$

Так как $1-{\cos }^{2}2x={\sin }^{2}2x\text{,}$ то
${\sin }^{2}2x=\frac{\sin 2x\cos 2x}{\sqrt{3}}\text{,}$
$\sin 2x(\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x)=0\text{.}$

Случай $\sin 2x=0$ не входит в ОДЗ.

Поэтому $\sqrt{3}\sin 2x=\cos 2x\text{,}$ $\tan 2x=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{.}$

Отсюда $2x=\frac{\pi }{6}+\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$