Задача №21004

Дана последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots$ действительных чисел, удовлетворяющая условиям

$$a_{2n}=(\sqrt{2}-1)a_n,a_{2n-1}=\sqrt{2}{a}_n.$$

Найдите сумму

$$a_2+a_3+a_5+a_9+a_{17}+a_{33}+a_{65}+a_{129},$$

если $a_1=1\text{.}$

\textit{Замечание.} При $n=1$ второе равенство даёт $a_1=\sqrt{2}{a}_1\text{,}$ что противоречит $a_1=1\text{.}$ Равенство применяется при $n\ge 2\text{;}$ при буквальном прочтении условия последовательности не существует.

Сначала $a_2=(\sqrt{2}-1)a_1=\sqrt{2}-1\text{.}$

Индексы в сумме после $2$ получаются последовательно по правилу
$3=2\cdot 2-1\text{,}$ $5=2\cdot 3-1\text{,}$ $9=2\cdot 5-1\text{,}$ $\dots$

Поэтому каждое следующее слагаемое в $\sqrt{2}$ раз больше предыдущего:
$a_3=\sqrt{2}{a}_2\text{,}$ $a_5=\sqrt{2}{a}_3\text{,}$ $\dots \text{,}$ $a_{129}=(\sqrt{2}{)}^7{a}_2\text{.}$

Искомая сумма является суммой геометрической прогрессии:

$$S=a_2(1+\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2+\cdots +(\sqrt{2}{)}^7)=(\sqrt{2}-1)\cdot \frac{(\sqrt{2}{)}^8-1}{\sqrt{2}-1}=16-1=15.$$