Задача №20997

Известно, что

$$f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}+2^{{\log }_{4}3}.$$

Найдите наименьшее целое число, превосходящее $f(\sqrt{3}+0,5)\text{.}$

$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|\text{.}$

Поскольку $\sqrt{3}+\frac{1}{2}<3\text{,}$ получаем $|\sqrt{3}+\frac{1}{2}-3|=\frac{5}{2}-\sqrt{3}\text{.}$

Кроме того, ${\log }_{4}3=\frac{1}{2}{\log }_{2}3\text{,}$ поэтому $2^{{\log }_{4}3}=2^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}=\sqrt{3}\text{.}$

Следовательно, $f(\sqrt{3}+\frac{1}{2})=\frac{5}{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{5}{2}\text{.}$

Наименьшее целое число, строго превосходящее $\frac{5}{2}\text{,}$ равно $\boxed{3}\text{.}$