Задача №20732

В основании прямой треугольной призмы лежит правильный треугольник $ABC\text{.}$ Площадь боковой грани $AB{B}_1{A}_1$ равна $3\sqrt{3}\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если известно, что радиус сферы, описанной около призмы, равен $\sqrt{5}$ и что $AB<\sqrt{5}\text{.}$

Пусть $AB=a$ и $A{A}_1=h\text{.}$ Боковая грань прямой призмы — прямоугольник, поэтому

Центр описанной сферы равноудалён от всех вершин, поэтому он лежит на прямой, соединяющей центры оснований, в её середине. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a\text{,}$ равен $\frac{a}{\sqrt{3}}\text{,}$ поэтому

Подставим $h=\frac{3\sqrt{3}}{a}\text{:}$

Умножив на $12a^2>0\text{,}$ получаем

Для $u=a^2$

то есть $u=\frac{27}{2}$ или $u=\frac{3}{2}\text{.}$
Условие $AB<\sqrt{5}$ означает $a^2<5\text{,}$ поэтому подходит только $u=\frac{3}{2}$ и