Задача №17717

Все три плоских угла при вершине $D$ тетраэдра $ABCD$ равны $\alpha \text{.}$ Найдите $\alpha \text{,}$ если известно, что $AB=BC=AC\text{,}$ $AD=1$ и $BD=\sqrt{3}-1\text{.}$

Пусть $AD=a(=1)\text{,}$ $BD=b(=\sqrt{3}-1)\text{,}$ $CD=c\text{.}$ По теореме косинусов

откуда $(a-b)(a+b-2c\cos \alpha )=0\text{.}$ Поскольку $a\ne b\text{,}$ получаем $a+b-2c\cos \alpha =0\text{,}$ то есть

Отсюда, в частности, видим, что $c⩾\sqrt{3}/2>\sqrt{3}-1=b\text{,}$ то есть $c\ne b\text{.}$ Опять применяя теорему косинусов и учитывая, что $c\ne b\text{,}$ получаем равенство $b+c-2a\cos \alpha =0\text{,}$ то есть

что равносильно $c^2+(\sqrt{3}-1)c-\sqrt{3}=0\text{.}$ Стало быть, $c=1$ и $\cos \alpha =\sqrt{3}/2\text{,}$ то есть $\alpha =30^{\circ }\text{.}$