Все три плоских угла при вершине D тетраэдра ABCD равны alpha . Найдите alpha , если известно, что AB = BC = AC , AD = 1 и BD = sqrt(3) - 1 .

Пусть AD = a(= 1) , BD = b(= sqrt(3) - 1) , CD = c . По теореме косинусов a^2 + c^2 - 2ac = AC^2 = BC^2 = b^2 + c^2 - 2bc, откуда (a - b)(a + b - 2c) = 0 . Поскольку a != b , получаем a + b - 2c = 0 , то есть = (a+b)/(2c) = (sqrt(3))/(2c). Отсюда, в частности, видим, что c sqrt(3)/2 > sqrt(3) - 1 = b , то есть c != b . Опять применяя теорему косинусов и учитывая, что c != b , получаем равенство b + c - 2a = 0 , то есть c + (sqrt(3) - 1) - sqrt(3)/c = 0, что равносильно c^2 + (sqrt(3) - 1)c - sqrt(3) = 0 . Стало быть, c = 1 и = sqrt(3)/2 , то есть alpha = 30^ .

\( 30^\circ \)