Задача №20731

Даны положительные действительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ удовлетворяющие неравенству

$$(a+4+b)(a+2ab+b)⩽24ab.$$

Найдите разность между наибольшим и наименьшим возможными значениями выражения $a+b\text{.}$

Обозначим

$$s=a+b,p=ab.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$(s+4)(s+2p)⩽24p,$$ $$s^2+2ps+4s+8p⩽24p,$$ $$s^2+4s⩽2p(8-s).$$

Левая часть положительна, поэтому обязательно $s<8$ и

$$p⩾\frac{s^2+4s}{2(8-s)}.$$

С другой стороны, по неравенству о средних

$$p=ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{s^2}{4}.$$

Значит, подходящее $p$ существует лишь при

$$\frac{s^2+4s}{2(8-s)}⩽\frac{s^2}{4}.$$

Умножим обе части на $8(8-s)>0\text{:}$

$$4s^2+16s⩽2s^2(8-s),$$ $$2s^3-12s^2+16s⩽0,$$ $$2s(s-2)(s-4)⩽0.$$

При $s>0$ это равносильно

$$2⩽s⩽4.$$

Каждое такое значение достигается: при $a=b=\frac{s}{2}$ имеем $p=\frac{s^2}{4}\text{,}$ и полученное выше условие выполнено. Например,

$$a=b=1:6\cdot 4=24=24ab,$$ $$a=b=2:8\cdot 12=96=24ab.$$

Итак, наибольшее значение $a+b$ равно $4\text{,}$ наименьшее равно $2\text{,}$ а искомая разность равна

$$4-2=2.$$