Задача №17702

Многочлен $f(x)=x^4-12x^3+a{x}^2+bx+81$ с действительными $a$ и $b$ допускает разложение

$$f(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)(x-c_4)$$

с некоторыми действительными $c_1,c_2,c_3,c_4\text{.}$ Найдите все возможные значения $f(5)\text{.}$

Раскрывая скобки, получаем равенства

$$c_1+c_2+c_3+c_4=12\text{и}{c}_1{c}_2{c}_3{c}_4=81.$$

Стало быть, в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

$$3=\frac{1}{4}(c_1+c_2+c_3+c_4)=\frac{\frac{c_1+c_2}{2}+\frac{c_3+c_4}{2}}{2}⩾\frac{\sqrt{c_1{c}_2}+\sqrt{c_3{c}_4}}{2}⩾\sqrt[4]{c_1{c}_2{c}_3{c}_4}=3.$$

То есть все неравенства должны быть равенствами, а это равносильно тому, что $c_1=c_2=c_3=c_4=3\text{.}$ А это значит, что $f(x)=(x-3{)}^4\text{.}$ Стало быть, $f(5)=2^4=16\text{.}$