Многочлен f(x)=x^4-12x^3+ax^2+bx+81 с действительными a и b допускает разложение f(x)=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)(x-c_4) с некоторыми действительными c_1,c_2,c_3,c_4. Найдите все возможные значения f(5).

Раскрывая скобки, получаем равенства c_1+c_2+c_3+c_4=12 и c_1c_2c_3c_4=81. Стало быть, в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим 3=(1)/(4)(c_1+c_2+c_3+c_4)=(c_1+c_22+c_3+c_42)/(2)(sqrt(c_1c_2)+sqrt(c_3c_4))/(2)[4]c_1c_2c_3c_4=3. То есть все неравенства должны быть равенствами, а это равносильно тому, что c_1=c_2=c_3=c_4=3. А это значит, что f(x)=(x-3)^4. Стало быть, f(5)=2^4=16.

16