Найдите все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетворяющие системе уравнений cases(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)=xyz (x^4+x^2y^2+y^4)(y^4+y^2z^2+z^4)(z^4+z^2x^2+x^4)=x^3y^3z^3cases

Заметим, что x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2). Отсюда, учитывая положительность x,y,z, получаем (x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)=x^2y^2z^2. Но для положительных x,y,z справедливо x^2-xy+y^2 xy, y^2-yz+z^2 yz, z^2-zx+x^2 zx и равенства достигаются лишь при x=y=z. Подставляя x=y=z в первое уравнение из условия, получаем x=y=z=1/3.

x = y = z = 1/3