Задача №17681

Найдите все тройки положительных чисел $x\text{,}$ $y\text{,}$ $z\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)=xyz\\ (x^4+x^2{y}^2+y^4)(y^4+y^2{z}^2+z^4)(z^4+z^2{x}^2+x^4)=x^3{y}^3{z}^3\end{array}$$

Заметим, что $x^4+x^2{y}^2+y^4=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\text{.}$ Отсюда, учитывая положительность $x,y,z\text{,}$ получаем

$$(x^2-xy+y^2)(y^2-yz+z^2)(z^2-zx+x^2)=x^2{y}^2{z}^2.$$

Но для положительных $x,y,z$ справедливо $x^2-xy+y^2⩾xy\text{,}$ $y^2-yz+z^2⩾yz\text{,}$ $z^2-zx+x^2⩾zx$ и равенства достигаются лишь при $x=y=z\text{.}$ Подставляя $x=y=z$ в первое уравнение из условия, получаем $x=y=z=1/3\text{.}$