Задача №20730

Дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD\text{.}$ Внутри треугольника $ABD$ отмечена точка $E\text{.}$ Прямые $BE$ и $DE$ пересекают диагональ $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $AC\text{,}$ если известно, что

$$BE=3,DE=5,AF=BF,AG=DG.$$

Пусть $O$ — центр данной окружности.
Из равенства $AF=BF$ следует, что точка $F$ лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB\text{.}$ На этом же перпендикуляре лежит и центр $O\text{.}$
Рассмотрим симметрию относительно прямой $m\text{.}$ Она меняет местами $A$ и $B\text{,}$ а точки $F$ и $O$ оставляет на месте. Поэтому прямая $AF\text{,}$ то есть прямая $AC\text{,}$ переходит в прямую $BF\text{,}$ а точка $E$ этой прямой — в некоторую точку $E_1\text{,}$ лежащую на $AC\text{.}$ Симметрия сохраняет расстояния, поэтому

$$A{E}_1=BE=3,O{E}_1=OE.$$

Из равенства $AG=DG$ точно так же следует, что симметрия относительно серединного перпендикуляра к $AD$ переводит $E$ в точку $E_2$ прямой $AC\text{,}$ причём

$$A{E}_2=DE=5,O{E}_2=OE.$$

Итак, точки $E_1$ и $E_2$ лежат на хорде $AC$ и равноудалены от центра:

$$O{E}_1=O{E}_2.$$

Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам, поэтому основание этого перпендикуляра — середина $AC\text{,}$ и точки $E_1\text{,}$ $E_2$ симметричны относительно середины хорды. Следовательно,

$$C{E}_2=A{E}_1=3.$$

Так как точка $E$ лежит внутри треугольника $ABD\text{,}$ точка $E_2$ лежит между $A$ и $C\text{,}$ поэтому

$$AC=A{E}_2+E_{2}C=5+3=8.$$