Окружность _1 с центром O_1 и окружность _2 с центром O_2 пересекаются в точках A и B, причём O_1AO_2=120^. Окружность, описанная около треугольника O_1AO_2 пересекает окружности _1 и _2 соответственно в точках C и D (отличных от точки A). Найдите угол BDC, если известно, что ACB=15^.

Покажем, что точки C, B, O_2 лежат на одной прямой. Для этого покажем, что CBA+ ABO_2=180^. Заметим, что CBA=(1)/(2)(360^- CO_1A)=(1)/(2)(360^-(180^-2 O_1CA))=90^+ O_1CA. С другой стороны, ABO_2=(1)/(2)(180^- AO_2B)=(1)/(2)(180^-2 AO_2O_1)=90^- AO_2O_1. Заметим также, что углы O_1CA и AO_2O_1 равны как опирающиеся на одну дугу. Стало быть, действительно, CBA+ ABO_2=90^+ O_1CA+90^- AO_2O_1=180^. Аналогично, точки D, B, O_1 лежат на одной прямой. Отсюда видим, что CBD= O_1BO_2= O_1AO_2=120^. Далее, BCD= ACB=15^, ибо дуги AO_2 и O_2D равны. Стало быть, из треугольника CBD получаем, что BDC=180^-120^-15^=45^.

45^\circ