Задача №17694

Окружность ${\Omega }_1$ с центром $O_1$ и окружность ${\Omega }_2$ с центром $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B\text{,}$ причём $\angle O_{1}A{O}_2=120^{\circ }\text{.}$ Окружность, описанная около треугольника $O_{1}A{O}_2$ пересекает окружности ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ соответственно в точках $C$ и $D$ (отличных от точки $A$). Найдите угол $\angle BDC\text{,}$ если известно, что $\angle ACB=15^{\circ }\text{.}$

Покажем, что точки $C\text{,}$ $B\text{,}$ $O_2$ лежат на одной прямой. Для этого покажем, что $\angle CBA+\angle AB{O}_2=180^{\circ }\text{.}$ Заметим, что $\angle CBA=\frac{1}{2}(360^{\circ }-\angle C{O}_{1}A)=\frac{1}{2}(360^{\circ }-(180^{\circ }-2\angle O_{1}CA))=90^{\circ }+\angle O_{1}CA\text{.}$ С другой стороны, $\angle AB{O}_2=\frac{1}{2}(180^{\circ }-\angle A{O}_{2}B)=\frac{1}{2}(180^{\circ }-2\angle A{O}_2{O}_1)=90^{\circ }-\angle A{O}_2{O}_1\text{.}$ Заметим также, что углы $\angle O_{1}CA$ и $\angle A{O}_2{O}_1$ равны как опирающиеся на одну дугу. Стало быть, действительно,

Аналогично, точки $D\text{,}$ $B\text{,}$ $O_1$ лежат на одной прямой. Отсюда видим, что $\angle CBD=\angle O_{1}B{O}_2=\angle O_{1}A{O}_2=120^{\circ }\text{.}$ Далее, $\angle BCD=\angle ACB=15^{\circ }\text{,}$ ибо дуги $A{O}_2$ и $O_{2}D$ равны. Стало быть, из треугольника $CBD$ получаем, что $\angle BDC=180^{\circ }-120^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$