Задача №17783

Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E\text{,}$ соответственно, и пересекает сторону $AC$ в точках $F\text{,}$ $G$ (точка $F$ лежит между точками $A$ и $G$). Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AF=5\text{,}$ $GC=2\text{,}$ $AD:DB=2:1$ и $BE=EC\text{.}$

Отрезки $BD$ и $BE$ — это касательные к окружности, проведённые из общей точки $B\text{,}$ поэтому они равны; обозначим их общую длину через $a\text{.}$ По условию $BE=EC\text{,}$ значит $EC=a\text{.}$ Условие $AD:DB=2:1$ даёт $AD=2a\text{.}$ Длину неизвестного отрезка $FG$ обозначим через $b\text{.}$

Применим теорему о касательной и секущей. Из точки $A$ проведены касательная $AD=2a$ и секущая $AG=AF+FG=5+b$ с внешней частью $AF=5\text{;}$ поэтому

Из точки $C$ проведены касательная $CE=a$ и секущая $CF=CG+GF=2+b$ с внешней частью $CG=2\text{;}$ поэтому

Решим систему. Из второго уравнения $b=\frac{a^2}{2}-2\text{;}$ подставляя в первое, получаем $4a^2=25+5b=25+\frac{5a^2}{2}-10\text{,}$ откуда $\frac{3a^2}{2}=15\text{,}$ то есть $a^2=10\text{,}$ $a=\sqrt{10}\text{,}$ и тогда $b=3\text{.}$

Теперь известны все стороны треугольника: $AB=AD+DB=3a=3\sqrt{10}\text{,}$ $BC=BE+EC=2a=2\sqrt{10}\text{,}$ $AC=AF+FG+GC=5+3+2=10\text{.}$ По теореме косинусов для угла $\beta =\angle ABC\text{:}$

Угол $\beta$ острый, поэтому $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{,}$ и

Центр окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $B\text{,}$ а радиус $OD\text{,}$ проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне $AB\text{.}$ Поэтому в прямоугольном треугольнике $BDO$ угол при вершине $B$ равен $\frac{\beta }{2}\text{,}$ катет $BD=a=\sqrt{10}\text{,}$ а второй катет — искомый радиус. Следовательно,