Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC в точках D и E, соответственно, и пересекает сторону AC в точках F, G (точка F лежит между точками A и G). Найдите радиус этой окружности, если известно, что AF=5, GC=2, AD:DB=2:1 и BE=EC.

Отрезки BD и BE — это касательные к окружности, проведённые из общей точки B, поэтому они равны; обозначим их общую длину через a. По условию BE=EC, значит EC=a. Условие AD:DB=2:1 даёт AD=2a. Длину неизвестного отрезка FG обозначим через b. Применим теорему о касательной и секущей. Из точки A проведены касательная AD=2a и секущая AG=AF+FG=5+b с внешней частью AF=5; поэтому (2a)^2=5(5+b). Из точки C проведены касательная CE=a и секущая CF=CG+GF=2+b с внешней частью CG=2; поэтому a^2=2(2+b). Решим систему. Из второго уравнения b=(a^2)/(2)-2; подставляя в первое, получаем 4a^2=25+5b=25+(5a^2)/(2)-10, откуда (3a^2)/(2)=15, то есть a^2=10, a=sqrt(10), и тогда b=3. Теперь известны все стороны треугольника: AB=AD+DB=3a=3sqrt(10), BC=BE+EC=2a=2sqrt(10), AC=AF+FG+GC=5+3+2=10. По теореме косинусов для угла beta= ABC: 10^2=(3sqrt(10))^2+(2sqrt(10))^2-2* 3sqrt(10)* 2sqrt(10) 100=90+40-120 =(1)/(4). Угол beta острый, поэтому =sqrt(1-cos^2beta)=(sqrt(15))/(4), и tg(beta)/(2)=()/(1+)=(sqrt(15)/4)/(1+1/4)=sqrt((3)/(5)). Центр окружности O лежит на биссектрисе угла B, а радиус OD, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне AB. Поэтому в прямоугольном треугольнике BDO угол при вершине B равен (beta)/(2), катет BD=a=sqrt(10), а второй катет — искомый радиус. Следовательно, R=BD*tg(beta)/(2)=sqrt(10)*sqrt((3)/(5))=sqrt(6).

R=\sqrt{6}