Окружности Ω1 и Ω2 находятся внутри окружности Ω, касаются окружности Ω в точках A и B соответственно и касаются друг друга внешним образом в точке C. Пусть O — центр окружности Ω и пусть D — точка пересечения прямой OC с отрезком AB. Найдите отношение AD:DB, если известно, что радиус окружности Ω в три раза больше радиуса окружности Ω1 и в пять раз больше радиуса окружности Ω2.
Пусть a,b,c — радиусы окружностей Ω1, Ω2, Ω соответственно. Пусть O1 — центр окружности Ω1 и O2 — центр окружности Ω2. Тогда O1 лежит на OA, O2 лежит на OB, C лежит на O1O2, причём
OA=OB=c,O1A=O1C=a,O2B=O2C=b.По теореме синусов, применённой к треугольникам OAD и OBD,
sin∠AODAD=sin∠ODAc=sin∠ODBc=sin∠BODDB.Таким образом,
DBAD=sin∠BODsin∠AOD.Далее, по теореме синусов, применённой к треугольникам O1OC и O2OC,
sin∠O1OCa=sin∠OCO1c−aиsin∠O2OCb=sin∠OCO2c−b=sin∠OCO1c−b.Стало быть,
DBAD=sin∠BODsin∠AOD=sin∠O2OCsin∠O1OC=ba⋅c−ac−b=ac−1bc−1=3−15−1=2.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ