Окружности _1 и _2 находятся внутри окружности , касаются окружности в точках A и B соответственно и касаются друг друга внешним образом в точке C . Пусть O — центр окружности и пусть D — точка пересечения прямой OC с отрезком AB . Найдите отношение AD : DB , если известно, что радиус окружности в три раза больше радиуса окружности _1 и в пять раз больше радиуса окружности _2 .

Пусть a, b, c — радиусы окружностей _1 , _2 , соответственно. Пусть O_1 — центр окружности _1 и O_2 — центр окружности _2 . Тогда O_1 лежит на OA , O_2 лежит на OB , C лежит на O_1O_2 , причём OA = OB = c, O_1A = O_1C = a, O_2B = O_2C = b. По теореме синусов, применённой к треугольникам OAD и OBD , (AD)/(sin AOD) = (c)/(sin ODA) = (c)/(sin ODB) = (DB)/(sin BOD). Таким образом, (AD)/(DB) = (sin AOD)/(sin BOD). Далее, по теореме синусов, применённой к треугольникам O_1OC и O_2OC , (a)/(sin O_1OC) = (c-a)/(sin OCO_1) и (b)/(sin O_2OC) = (c-b)/(sin OCO_2) = (c-b)/(sin OCO_1). Стало быть, (AD)/(DB) = (sin AOD)/(sin BOD) = (sin O_1OC)/(sin O_2OC) = (a)/(b) * (c-b)/(c-a) = (cb - 1)/(ca - 1) = (5-1)/(3-1) = 2.

2