Задача №20727

Пусть $[x]$ обозначает целую часть действительного числа $x\text{,}$ то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x\text{.}$ Найдите в явном виде натуральное число, равное

$$\frac{1}{2\left[\sqrt{1}\right]+1}+\frac{1}{2\left[\sqrt{2}\right]+1}+\frac{1}{2\left[\sqrt{3}\right]+1}+\dots +\frac{1}{2\left[\sqrt{99}\right]+1}.$$

Сгруппируем слагаемые по значению целой части. Для натурального $m$ равенство

$$\left[\sqrt{k}\right]=m$$

означает

$$m^2⩽k<(m+1{)}^2,$$

то есть

$$m^2⩽k⩽m^2+2m.$$

Таких значений $k$ ровно

$$m^2+2m-m^2+1=2m+1.$$

Каждое из них даёт слагаемое $\frac{1}{2m+1}\text{,}$ поэтому вся группа в сумме равна

$$(2m+1)\cdot \frac{1}{2m+1}=1.$$

Так как $99=10^2-1\text{,}$ индекс $k$ пробегает целиком группы с $m=1,2,\dots ,9\text{.}$ Следовательно, сумма равна

$$\underset{9}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=9.$$